如何求一平面的法向量？

Question

已知平面上的任意三点，求平面法向量。下面的方法已经知道。
现在已知A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3)已知平面上的3个点，则可得向量AB（x2-x1,y2-y1,z2-z1）,向量BC(x3-x2,y3-y2,z3-z2)，向量AC（x3-x1,y3-y1,z3-z1)。设平面的法向量坐标是（x,y,z）则，根据法向量定义的：(x2-x1)*x+(y2-y1)*y+(z2-z1)*z=0 且(x3-x1)*x+(y3-y1)*y+(z3-z1)*z=0 且(x3-x2)*x+(y3-y2)*y+(z3-z2)*z=0 解出来x,y,z就是平面法向量的坐标，方向满足右手螺旋法则。
设A(0，0，0),B(100，0，0),C(200，100，0)。则此平面的法向量为？

Answer 1

向量AB（100,0,0）
向量BC（100,100,0）
设法向量为（x，y，z）
则100x+0y+0z=0
则x=0
100x+100y+0z=0
则y=0
z可以任意追问

谢谢，还一个问题，已知四点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3)，D（x4,y4,z4)。且ABCD不在同一平面上，如何求平面ABC和平面BCD的平面角。

追答

分别求两个面的法向量

追问

这里有地方不明白，能否帮忙解释一下。是怎么计算的？

 

Answer 2

Answer 3

Answer 4

弱弱的问一下，你学过向量叉乘吗？学过的话，就非常简单，AB*BC就OK了追问

叉乘？
以前学过，复习了一下，有些不是太明白。可否详细解说一下，谢谢

追答

a=(a1,b1,c1)
b=(a2,b2,c2)
向量a×向量b=
　　| i j k|
　　|a1 b1 c1|
　　|a2 b2 c2|
　　=(b1c2-b2c1,c1a2-a1c2,a1b2-a2b1)，所求的向量与两个向量都垂直，所以为法向量

追问

谢谢，这样计算的结果就是一个特定的值。是平面的一个法向量，对吧？
还一个问题，已知四点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3)，D（x4,y4,z4)。且ABCD不在同一平面上，如何求平面ABC和平面BCD的平面角。有没有简单的方法？

追答

分别求平面ABC和平面BCD的法向量，然后用公式求余弦值

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