要求函数 y = cos(2x) 在区间 [0, 2π] 的 3 次最佳一致逼近多项式，我们可以使用勒让德多项式进行逼近。
勒让德多项式是一组正交多项式，它们可以用来逼近函数在特定区间上的最佳一致逼近多项式。在区间 [0, 2π] 上，我们可以使用勒让德多项式来逼近 cos(2x)。
勒让德多项式的前几个为：
P₀(x) = 1
P₁(x) = x
P₂(x) = (3x² - 1)/2
P₃(x) = (5x³ - 3x)/2
现在，我们需要将函数 cos(2x) 在区间 [0, 2π] 上展开为勒让德多项式的线性组合，并选择合适的系数，以得到 3 次最佳一致逼近多项式。
cos(2x) = c₀ * P₀(x) + c₁ * P₁(x) + c₂ * P₂(x) + c₃ * P₃(x)
其中，c₀、c₁、c₂、c₃ 是待求的系数。
为了求解系数，我们需要使用正交性条件，即勒让德多项式之间的内积为零。具体来说，在区间 [0, 2π] 上，我们有：
∫[0, 2π] cos(2x) * P₀(x) dx = 0
∫[0, 2π] cos(2x) * P₁(x) dx = 0
∫[0, 2π] cos(2x) * P₂(x) dx = 0
∫[0, 2π] cos(2x) * P₃(x) dx = 0
然后，利用正交性条件来解方程组，求解出系数 c₀、c₁、c₂、c₃。这样就得到了在区间 [0, 2π] 上的 3 次最佳一致逼近多项式。
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