我想了蛮久.觉得第一问是比较难的,当然我认为你忘记打括号了.
因为k是整数，那么n^/(mn)是整数,得出m|n。
这里只要取m=n=1，则k=3不是平方数。
如果不是，而是n^/(nm+1)
那么有(mn+1)|n^2,
又(mn+1,n)=1,当m,n都是正整数的时候。
这是不可能同时成立的。
所以原问题应该是(m^2+n^2)/(nm+1).
第二问比较简单只要证明1/m+1/n是整数即可.
如果n,m>2，1/m+1/n<1。所以m,n必定小于等于2.
通过枚举,m=1,n=1.m=2,n=2是1/m+1/n为整数的所有解.
因此k=m+1/m+n+1/n=3,或4.
第一题吧，我没办法用比较简单的语言来回答你的问题,不过我想到了还是把答案呈上。
我用的是估计的方法，估计出k的范围,然后再来通过枚举得出结论.
我们证明k是平方数，并且m=n=k=1.
证明：
令t=m/n.且m>=n,
则t>=1:
k
=[(m^2+n^2)/(mn)]*[1/(1+1/(mn))]
=(t+1/t)*(1-1/(mn)+1/(mn)^2+.....)
=t+1/t-(1/m^2+1/n^2)+[(m^2+n^2)/(nm)^3]*(1/(1+1/(mn)))
令s=1/t-(1/m^2+1/n^2)+[(m^2+n^2)/(nm)^3]*(1/(1+1/(mn))).
则k=t+s.
以下我们估计s。
s<=1/t-(1/m^2+1/n^2)+(m^2+n^2)/(mn)^3
=1/t-(1/n^2+1/m^2)(1-1/(mn))
<1/t
得k<t+1/t.
如果n>=2，t>=2。
则,s>=1/t-(1/n^2+1/m^2)>=1/2-5/16>0
所以t<k
因此t<=k<t+1/t
如果m>=n^2
此时有1/n>=n/m
那么k<t+1/t<=[t]+(n-1)/n+n/m<=[t]+1
又[t]+1<=k，所以要使得k是整数必定有m<n^2.
此时k=[t]+1,不妨设[t]=p,
于是m=np+g，0<=g<n.
带入k=(m^2+n^2)/(mn+1)，化简后有:
p(n^2-ng+1)=n^2-ng-1.
得p=(n^2-ng-1)/(n^2-ng+1)<1.
这与p是整数矛盾.
所以当n>=2时,1<=t<2.
那么:
s>=1/t-(1/m^2+1/n^2)>=1/t-1/2
则：
t+1/t-1/2<k<t+1/t,由于1<=t<2.
所以得出1<=k<3。
所以k=1或k=2。
当k=2时.
有2=(m^2+n^2)/(mn+1)
得：
2=(m-n)^2
显然上述方程无整数解。
当k=1时:
有mn+1=m^2+n^2>=2mn
所以mn<=1
但n>=2。所以不可能.
因此考虑n=1，当m>=2时:
k=(m^2+1)/(m+1).
则k<m+1/m.
s>=1/m-(1+1/m^2)
m+1/m-1-1/m^2<k<m+1/m
m-3/4<=k<=m
于是我们得出：
k=m.
m=(m^2+1)/(m+1)
m^2+m=m^2+1
得出m=1，这与m>=2矛盾,
所以m=1
此时:
k=(1^2+1^2)/(1*1+1)=1。
于是：
满足k=(m^2+n^2)/(mn+1),m,n,k是正整数的解是唯一的:
k=m=n=1.同时k是平方数.
我打了好久，可能有打错的地方望见谅。其实这个问题貌似有一个反证的方法,在下面这个链接里:
http://zhidao.baidu.com/question/315132027.html 这里面的证明就没那么繁琐了。