对y=u(x)^v(x)求导，不用取对数求导法能否做出来？怎么做？

Question

如题所述

Answer 1

可以用复合函数的求导法。就是所谓的「链式法则」
y = u^v
dy/dx = d(u^v)/du * du/dx + d(u^v)/dv * dv/dx
d(u^v)/du，这里的v是常量，u是自变量；d(u^v)/dv，这里的u是常量，v是自变量
= v * u^(v - 1) * du/dx + u^v * lnu * dv/dx
= v/u * u^v * du/dx + u^v * lnu * dv/dx
= u^v * [(v/u)(du/dx) + (lnu)(dv/dx)]
知道u和v的具体函数后变量做到这个了。

不妨用对数求导法验算一下：
y = u^v
lny = vlnu
1/y * dy/dx = lnu * dv/dx + v * 1/u * du/dx
dy/dx = u^v * [(lnu)(dv/dx) + (v/u)(du/dx)]

还记得公式(x^n)' = nx^(n - 1)和(a^x)' = a^x * lna吗？

Answer 2