如图,△ABC为等边三角形,D,E分别自A,B点出发,向AB,BC方向同速运动,试求在运动

Question

如图，△ABC为等边三角形，D、E分别自A、B点出发，向AB、BC方向同速运动，试求在运动过程中，AE,CD的大小关系和它们之间的位置关系。（完整详细过程）

Answer 1

AE=CD，AE与CD较小夹角为60°。

证明：由D、E同时、同速知：AD=BE，
∵ΔABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠B=60°，
∴ΔACD≌ΔBAE(SAS)，
∴AE=CD，∠BAE=∠ACD，
∴∠APD=∠ACD+∠PAC(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和)
=∠BAE+∠PAC
=∠BAC
=60°。

Answer 2

如图，△ABC为等边三角形，D、E分别自A、B点出发，向AB、BC方向同速运动，试求在运动过程中，AE,CD的大小关系和它们之间的位置关系。

解：因为△ABC是等边三角形，且D、E的运动速度相同，故在运动过程中，会始终保持CD=AE；
设AD=BE=x，△ABC的边长为a，则由余弦定理可知：
AE=CD=√(a²+x²-2axcos60°)=√(a²+x²-ax)=√[(x-a/2)²+a²-a²/4]=√[(x-a/2)²+3a²/4]【0≦x≦a】
当x=a/2时，AE和CD获得最小值(√3/2)a=△ABC的高。

Answer 3

①AE＝CD。∵△ACD≌△BAE（已知AC＝BA，同速AD＝BE，∠CAD＝∠ABE＝60º）。 ②AE ,CD 相交之锐角为60º。
∵∠APD＝ 180º－∠BAE－∠ADP（△内角和等于180º）
＝180º－∠ACD（已证△全等）－（∠ABC＋∠BCD）（外角等于不相邻内角和）
＝ 180º －｛60º＋(∠ACD＋∠BCD)}＝180º－60º－60º＝60º。

Answer 4

AE=CD
AE与CD成60度夹角
ACD全等于BAE
角CPE=角CAE+角ACD=60度

Answer 5

解：这里需要用到“边角边”的方法证得三角形全等。AC=BC，角CAB=角ABC，AD=BE（D,E速度相同），有三角形CAD全等于ABE,则可得到CD=AE，同时角ACP=角DAP。而角APD=角ACP+角CAP=角DAP+角CAP=角DAC=60度。所以，在D,E点运动的过程中，有AE=CD，且它们的交角为60度。
可以考虑极限条件，即D,E未出发，AE其实就是AB，CD就是CA，符合上述结论；D到达B，E到达C，依然符合结论。（不好意思，书写不便，未用数学符号，见谅，还希望你看得明白。）

Answer 6

D、E两点运动速递相同，而AD和CE的长度分别是这两点的路程，所以在时间相等的情况下，AD=CE，由三角形ADC和三角形CEA全等可知，AE=CD。位置关系嘛，就是DE平行于AC咯。