已知点B为线段AC上的一个动点，△ACD与△BCE都为等边三角形，点D与点E在直线AC的两侧，连接AE交DB的延长
线于点P，连接PC。 ①如图1求证PA+PC=PD；②如图2分别过点C.E作CF垂直BD.EG垂直PC，垂足分别为点F.G，若PD-PA=5，BF=5/8，求线段CG长
要过程，全一点哦
证：△ACD与△BCE都为等边三角形，
从而有：AC＝DC，EC＝BC，∠ACE＝∠DCB＝60°，
由两边夹角分别对应相等，可知：
△ACE≌△DCB；
从而：∠CAE＝∠CDB，
故，D、A、P、C四点共圆Ot；
设圆Ot的半径为R，
设∠ADP＝α°，则∠CDP＝(60－α)°，
从而，
弦PA所对圆心角＝2倍圆周角＝2∠ADP＝2α°，
弦PC所对圆心角＝2倍圆周角＝2∠CDP＝(120－2α)°，
弦PD所对圆心角＝弦AD所对圆心角＋弦PA所对圆心角＝(120＋2α)°，
则：
弦长PA＝2Rsinα°，
弦长PC＝2Rsin(60－α)°，
弦长PD＝2Rsin(60＋α)°，
PA＋PC
＝2Rsinα°＋2Rsin(60－α)°
＝2R[sinα°＋sin(60－α)°]
＝4Rsin[(α＋60－α)°/2]cos[(α－60＋α)°/2] ……(*)
＝4Rsin30°cos(30＋α)°
＝2Rcos(30＋α)°
＝2Rsin[90－(30＋α)]°
＝2Rsin(60＋α)°
＝PD
(*)步骤的依据为：
三角函数 和差化积公式：
sinθ＋sinφ＝2 sin[(θ＋φ)/2] cos[(θ－φ)/2]
（2）。
解：已知，PD－PA＝5，BF＝5/8，
由（1）证明结论有，
PC＝PD－PA＝5，
DAPC四点共圆，则：∠DPC＝∠DAC＝60°，∠ADP＝∠ACP，
从而有：∠CDF＝60°－∠ADP＝60°－∠ACP＝∠ECG，
从而：Rt△CDF∽Rt△ECG，
故，CD：EC＝DF：CG； ……（&）
在Rt△CFP中，前面已经求得∠DPC＝60°，PC＝5，
故，FP＝CP/2＝5/2，CF＝5√3/2，
再结合已知 BF＝5/8，
可得：BP＝FP－BF＝5/2－5/8＝15/8，
由勾股定理可求：
BC＝√(BF²＋CF²)＝√(25/64＋75/4)＝35/8，
sin∠BCF＝BF/BC＝1/7，cos∠BCF＝√(1－(sin∠BCF)²)＝4√3/7，
由sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，
有：
sin∠DCF
＝sin(60°－∠BCF)
＝sin60°cos∠BCF－cos60°sin∠BCF
＝(√3/2)*(4√3/7)－(1/2)*(1/7)
＝12/14－1/14
＝11/14
从而可得：
cos∠DCF＝11/14＝√3/14，
由前面已求得，CF＝5√3/2，
可得：
CD＝CF/cos∠DCF＝7/5，
DF＝CD*sin∠DCF＝(7/5)*(11/14)＝11/10，
将上两结果及 EC＝BC＝35/8 代入（&）式CD：EC＝DF：CG，有：
(7/5)：(35/8)＝(11/10)：CG，
从而求得：
CG＝(35/8)×(11/10)÷(7/5)＝55/16。
解答完毕！
这题答得比较辛苦~惭愧！追问
我才初三上学期
追答（1）。
证明：
△ACD与△BCE都为等边三角形，
从而有：AC＝DC，EC＝BC，∠ACE＝∠DCB＝60°，
由两边夹角分别对应相等，可知：
△ACE≌△DCB；
从而：EA＝BD，∠CAE＝∠CDB， ……(f)
故，D、A、P、C四点共圆Ot；
由于四点共圆，弦上的圆周角相等的特性，有：
∠APD＝∠ACD＝60°，
∠DAC＝∠DPC＝60°，
易知：
△ABP∽△DBC；从而有：PA：CD＝AB：DB； ……(a)
△ABD∽△PBC；从而有：PC：AD＝CB：DB； ……(b)
△DPC∽△ACE；从而有：PD：CA＝CD：EA； ……(c) ^_^-----这步好关键！
设等边三角形△ACD的边长为L，则有：
CD＝AD＝CA＝L，AB ＋CB＝CA＝L，
(a)＋(b)，得：
(PA＋PC)：L＝(AB＋CB)：DB＝L：DB，
由前(f)已证 EA＝BD，
(PA＋PC)：L＝L：DB＝L：EA；
即：PA＋PC＝L²：EA； ……(g)
化简(c)有：PD：L＝L：EA；
即：PD＝L²：EA； ……(h)
由(g)和(h)可得：
PA＋PC＝PD。
证毕。
（2）解：由（1）知DAPC四点共圆，∠DPC＝∠DAC＝60°＝∠BEC，故BPEC亦四点共圆；
并可证类似（1）中结论：PC＝PB＋PE；即：PE＝PC－PB；
∠CDP＝60°－∠ADP＝60°－∠ACP＝∠ECP，
∠EPC＝∠EBC＝60°＝∠CAD＝∠CPD，
从而有△ECP∽△CDP，故
PE：PC＝PC：PD ……(m)
由（1）中结论：PA＋PC＝PD，则
PC＝PD－PA＝5，（已知）
在Rt△CFP中，∠DPC＝60°，故
FP＝PC/2＝5/2，FC＝5√3/2，
又已知 BF＝5/8，则
PB＝FP－BF＝5/2－5/8＝15/8，
代入(m)有：(PC－PB)：5＝5：PD，即：(5－15/8)：5＝5：PD，
得：PD＝8；
由前△ECP∽△CDP，有
EG：CF＝PC：PD＝CG：DF，即：
EG＝CF×PC÷PD＝(5√3/2)×5÷8＝25√3/16
CG＝DF×PC÷PD＝(PD－FP)×PC÷PD＝(8－5/2)×5÷8＝55/16。
解毕。
本题充分体现了平面几何相似形之美，另人陶醉！