设三阶矩阵A=(aij的特征值为1，2，3，Aij为aij的代数余子式，求A11+A22+A33

Question

这题我是直接假设A=diag{1 2 3}来做，但是如果这是一道大题要严格计算那应该怎么做呢？代数余子式应该不是相似不变量

Answer 1

方法如下：

（1）设a的特征值为λ1、λ2、…、λn，由于r（a）=1，必有λ1=t≠0，λ2=λ3=…=λn=0

又由于λ1+λ2+…+λn=a11+a22+…+ann=1

∴λ1=1，λ2=λ3=…=λn=0

（2）由（1）知，a的特征值只有1（1重）和0（n-1重）

而r（a）=1，因此-ax=0的基础解系含有n-r（-a）=n-r（a）=n-1个解向量

即特征值0的特征向量有n-1重

又不同特征值的特征向量是线性无关的

∴a有n个线性无关的特征向量

∴a可以相似于对角矩阵∧＝1

（3）由（2）知，存在可逆矩阵p，使得p-1ap=∧

∴a10=p∧10p-1

∴a10-a=p（∧10-∧）p-1=pop-1=o

相关性质

1、行列式与它的转置行列式相等。

2、互换行列式的两行(列)，行列式变号。

3、如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零。

Answer 2

方法如下：

（1）设a的特征值为λ1、λ2、…、λn，由于r（a）=1，必有λ1=t≠0，λ2=λ3=…=λn=0

又由于λ1+λ2+…+λn=a11+a22+…+ann=1

∴λ1=1，λ2=λ3=…=λn=0

（2）由（1）知，a的特征值只有1（1重）和0（n-1重）

而r（a）=1，因此-ax=0的基础解系含有n-r（-a）=n-r（a）=n-1个解向量

即特征值0的特征向量有n-1重

又不同特征值的特征向量是线性无关的

∴a有n个线性无关的特征向量

∴a可以相似于对角矩阵∧＝1。

旋转矩阵Rotation matrix：

旋转矩阵（Rotation matrix）是在乘以一个向量的时候有改变向量的方向但不改变大小的效果的矩阵。旋转矩阵不包括反演，它可以把右手坐标系改变成左手坐标系或反之。所有旋转加上反演形成了正交矩阵的集合。

旋转矩阵是世界上著名的彩票专家、澳大利亚数学家底特罗夫研究的，它可以帮助您锁定喜爱的号码，提高中奖的机会。

首先您要先选一些号码，然后，运用某一种旋转矩阵，将你挑选的数字填入相应位置。如果您选择的数字中有一些与开奖号码一样，您将一定会中一定奖级的奖。当然运用这种旋转矩阵，可以最小的成本获得最大的收益，且远远小于复式投注的成本。

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Answer 3

|A|=1*2.*3=6，trA=1+2+3=6
λ(A*)=|A|/λ=6.3.2
即A*有3个不同特征值，可以对角化，即
A*～Λ
A11+A22+A33=
trA*=trΛ=2+3+6=11本回答被提问者采纳