考研，数学，求高阶导数的各种方法！！

Question

高等数学 求高阶导数的方法
复习指南上面写的。
分式有理函数的高阶导数
利用函数的泰勒级数展开式
递推公式求N阶导数
莱布尼兹公式
第一种方法，我不懂。是让求y=(ax+b)/(cx+d) n阶导数。
多项式除法？是什么意思。
但是这个可以用莱布尼兹公式算的吧？
用泰勒公式 是不是一般算一个函数的n阶
用莱布尼兹公式 是求两个相乘函数 而且有一个的（比如说3级）之后全为0比较好用
递推公式 是这两种方法都不能用的时候？

Answer 1

1、在考研数学中，导数是一个很重要的基本概念，考研大纲除了要求理解导数的概念外，还要求能熟练地计算函数的导数。

2、常见的导数计算问题包括：复合函数的求导，反函数的求导，以参数方程形式表示的函数的求导，函数的高阶导数的计算，一阶和二阶偏导数的计算。其中关于高阶导数的计算，有些同学由于没有掌握正确的计算方法，导致解题时无从下手。

上面就是考研数学中关于函数的高阶导数的几种基本计算方法的分析，供考生们参考借鉴。

Answer 2

一般来讲，首先看它是不是常见的那几个函数（指数函数，三角函数）什么的，如果是，直接套公式；
其次：如果不是，则看能不能写成上面几个函数的和式或者乘积表达式，如果是和式，直接用求导法则，如果是乘积，用莱布尼兹法则写出通项后求和即可
再次：观察可不可以对函数求出几阶导数之后变成上面的两种情况；
最后，实在不行，看看能不能用数学归纳法求解。
上面的方法没有前后顺序，呵呵，关键看你的数学感觉。

1、一般来说，当然就是一次一次地求导，要几次导数给几次；
2、上面的方法比较沉闷，而且容易出错，通常根据被求导的函数，求几次导数后，
根据结果，找到规律，然后用归纳法，证明结果正确；
3、在解答麦克劳林级数、泰勒级数时，经常要求高阶导数，找规律是非常需要技巧的，
很多情况下，递推公式(Redunction)是很难找到。
实在找不到时，只能写一个抽象的表达式。

步骤：
第一步：确定函数的定义域．如本题函数的定义域为R.
第二步：求f(x)的导数f′(x).
第三步：求方程f′(x)＝0的根.
第四步：利用f′(x)＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列出表格.
第五步：由f′(x)在小开区间内的正、负值判断f(x)在小开区间内的单调性.
第六步：明确规范地表述结论.
第七步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范．

这个公式是说，对y(x)=u(x)v(x)求n阶导数时候，可以表示为u(x)的n-i阶导数乘v(x)的i阶导数的积的叠加，其系数是C(i,n)。
那个C是组合符号，
C(i,n)=n!/(i!(n-i)!)

莱布尼兹公式好比二项式定理，它是用来求f(x)*g(x)的高阶导数的。展开的形式我就不多说了。
一般来说，f(x)和g(x)中有一个是多项式，因为n次多项式求n+1次导数就变成0了，可以给计算带来方便。

就本题：
y的100阶导数=（x的0阶导数*shx的100阶导数）+100（x的1阶导数*shx的99阶导数）+99*100/2(x的2阶导数*shx的98阶导数)+......
如前所说，x的2阶以上导数都是0,所以上式只有前两项，
所以：y的100阶导数=xshx+100chx

1.把常用初等函数的导数公式记清楚；
2.求导时要小心谨慎，尤其是关于复合函数的导数。

===========================姜永哲11、、请勿转载=====
这里将列举六类基本初等函数的导数以及它们的推导过程（初等函数可由之运算来）：
1.常函数（即常数）y=c(c为常数) y'=0 【y=0 y'=0：导数为本身的函数之一】
2.幂函数y=x^n,y'=n*x^(n-1)(n∈R) 【1/X的导数为-1/(X^2)】

基本导数公式
3．指数函数y=a^x,y'=a^x * lna 【y=e^x y'=e^x：导数为本身的函数之二】
4．对数函数y=logaX,y'=1/(xlna) (a>0且a≠1,x>0)；【y=lnx,y'=1/x】
5.三角函数
(1)正弦函数y=(sinx ）y'=cosx
(2)余弦函数y=（cosx） y'=-sinx
(3)正切函数y=(tanx） y'=1/(cosx)^2
(4)余切函数y=（cotx） y'=-1/(sinx)^2
6.反三角函数
(1)反正弦函数y=（arcsinx） y'=1/√1-x^2
(2)反余弦函数y=（arccosx） y'=-1/√1-x^2
(3)反正切函数y=（arctanx） y'=1/(1+x^2)
(4)反余切函数y=（arccotx） y'=-1/(1+x^2)

幂函数同理可证
导数说白了它其实就是曲线一点切线的斜率，函数值的变化率
上面说的分母趋于零，这是当然的了，但不要忘了分子也是可能趋于零的，所以两者的比就有可能是某一个数，如果分子趋于某一个数，而不是零的话，那么比值会很大，可以认为是无穷大,也就是我们所说的导数不存在。
x/x,若这里让X趋于零的话，分母是趋于零了，但它们的比值是1,所以极限为1.
建议先去搞懂什么是极限。极限是一个可望不可及的概念，可以很接近它，但永远到不了那个岸。
导数是微积分的一个重要的支柱。牛顿及莱布尼茨对此做出了卓越的贡献。

==============================姜永哲11-------
最后讲一下你那个题：
====很简单，把原式看做(ax+b)和1/(cx+d)相乘的n阶导数，然后用莱布尼茨公式展开就行了。注意(ax+b)二阶以上的导数全部是0，而1/(cx+d)的n阶导数很好求。

结果应该是：(ax+b)×[(-c)^n×n!/(cx+d)^(n+1)]+n×a×[(-c)^(n-1)×(n-1)!/(cx+d)^n]
刚才失误了。。。忘了阶乘。。。

答案是正确的，你把我的解答同分一下化简就会发现跟答案一样。你自己做的应该是不对的。可以取n=2,3的特殊情况看一下。

Answer 3

导数的求解问题在高等数学中是一个重点，也是一个难点。又因为它是后继某些章节的基础，所以要想学好这一部分，就应该系统地总结导数求解的方法。常用的求导方法有定义法、公式法、导数的四则运算、复合函数求导、隐函数求导、参数方程求导以及高阶导数等。

关键词：函数 求导 方法

导数的求解以及跟导数相关的命题在历年的考试中，无论是在自学考考还是在成人高考中，所占的比重都相当高。这一部分也是后继内容如积分问题、微分方程问题、多元函数微积分等问题的必要基础。因此学好这一部分是取得这门课程高分的关键!在以前的教学过程中，我发现很多学生对数学的学习很吃力，关键是没有找到学习这门课程的技巧和方法。在此，我结合教学过程中学生经常出现的问题对导数的求解问题进行详细的介绍，以便帮助大家取得理想的成绩。
现在(主要以2006年成人高考数学一以及2006年4月份全国自学考试高等数学试题为例)就以上的各种方法进行详细的讨论。

一、定义法

任何定义都是解决问题的基础，导数的定义同样也是。导数的定义如下：设函数y=f(x)在点x 的某一邻域内有定义，若自变x在处x 的改变量为Δx（x ≠0，x +Δx仍在该邻域内）时，相应的函数有增量Δy=f(x +Δx)-f(x )；如果Δy与Δx之比 当Δx→0时，有极限=存在，则称这个极限为函数y=f(x)在点x 的导数。并且说，函数y=f(x)在点x 可导，记作f′（x ）。［1］对于导数定义的应用，一般来说，是用来解决如分段函数或者是针对定义的灵活应用上。
以成考试题的选择题第3题为例，题目如下：

上面的题目就是对定义的考察，在处理这个题目的时候，一定要深刻理解定义的表达，下面从定义着手解答。解答过程如下：

因此正确的选择项为A。
对于分段函数的求导问题，自学考试的填空题第9题:

[解]首先要求出左、右导数，然后比较二者是否相等。由已知条件知道:

由于左右极限存在但不相等，所以函数在x 处导数不存在。

二、公式法

利用公式法求导相对简单，因为只要考生能够熟记大纲中要求的常用求导公式，就能够很容易得分。这方面的考题在每年都有所体现。如成考选择题第4题：
曲线y=x 在点（1 ，1）处的切线的斜率为（）。

本题考查的是公式法进行导数的求解，同时还要求大家知道函数y=x 的导函数及其导函数的几何意义，导函数的几何意义是：曲线上某一点处切线的斜率。知道这些后这个问题就迎刃而解了。具体的解答过程如下：
k=y′=（x ）′=-3x =-3x ，当x=1时，k=-3×1 =-3。
可以知道答案为C。
同样的问题在成考填空题第11题中也出现了，题目如下：
设y=x ，则dy=（）。
本题不仅需要大家熟记y=x 的导函数公式，还要知道导数与微分的关系，主要还是要求大家会进行求导。
[解]dy=(x )dx=(2x )dx=2xdx。
从上面的两个题目可以看出，基础知识的掌握是很重要的。

三、导数的四则运算

四则运算的运算法则：设u=u(x)与v=v(x)在点x处可导，则：

我们通过下面的例子来熟悉导数的四则运算法则。例题如下：

四、复合函数求导

设y=f(u)，u=g(x)复合成y=f[g(x)]，如果u=g(x)在点x处可导，y=f(u)在相应点u=g(x)也可导，则复合函数y=f[g(x)]在点x处可导，则有下面的求导方法 = ・ =f′（u）・g′（x）。此方法也可以用于多层复合的情形。
具体的应用请看下面的例题：
（1） 设y=lnsinx，求y′；[成人高考解答题的第22题]
（2） y=ln ；
（3）y=e 。
[解]
（1）设y=lnu，u=sinx，
则由复合函数的求导方法得到： = ・ ；
又 =(lnu)′= ， =(sinx)′=cosx;
所以 = ・cosx= =tanx。
（2）y′=(ln )′= ・ = 。
（3） 设y=e ，u=cotv，v=2x，那么函数y=e 可以看作是由y=e ，u=cotv，v=2x复合而成。
因此由复合函数的求导方法可以得到： = ・ ・ ；
又 =(e )′=e ， =(cotv)′=-csc v， =(2x)′=2;
所以 =-e ・csc v・2=-2e ・csc 2x。

五、隐函数求导

若已知F（x，y)=0，求y′，一般来说按下列步骤进行求解：
a)若方程F（x，y)=0，能化为y=f(x)的形式，则用前面我们所学的方法进行求导；
b)若方程F（x，y)=0，不能化为y=f(x)的形式，则是方程两边对x进行求导，并把y看成x的函数y=f(x)，用复合函数求导法则进行。
下面举例说明隐函数求导的方法，例题如下：
求方程xy+3x -5y-7=0确定的隐函数y=f(x)的导数。［2］
[解]方程两端对x求导数，由复合函数的求导法则，有:

解得隐函数的导数为:y′= 。
从上面的例题可以看出，在求解的时候关键是弄明白函数的形式，是隐函数还是显函数，然后采用相应的隐函数求导方法来解决。

六、参数方程求导

无论是成考、自学考试、还是研究生入学考试，参数方程的求导问题一直都是考试的重点。所以要求大家对这一部分引起足够重视。参数方程求导的方法是：
设y=f(x)是由x=φ(t)y=?准(t)所确定的函数，其中φ(t)、?准(t)是可导的，并且?准′(t)≠0，则： = = 。
以成考第23题为例来说明参数方程求导的重要性。
设x=t y=cost（其中t为参数），求 。

七、高阶导数的求解

通常称二阶或者高于二阶的导数为高阶导数，其求解的过程跟一阶的相同，前提是求n阶导数时，前n-1阶导数存在。方法是在求完一阶后，再求二阶，以此类推，直到求到满足要求的阶数为止。请看2006年数学一填空题的第12题：
设y=e ，则y″=()。
[解]首先来求函数的一阶导数:y′=（e ）′=e ;
再求二阶导数:y″=（e ）′=e 。
至此，考试过程中经常出现的求导方法就讲完了。我想通过上面的讲解，大家对导数的求解问题一定有了新的理解和认识。希望大家学会本质的东西，不能只会表面性的东西。因为只有把知识真正理解掌握了，才能够触类旁通，在考试的过程中才能取得好成绩。

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Answer 4

求高阶导数的方法主要有以下两种情况：

单个函数的高阶导数，可以用公式求导，这与函数的类型有关系，例如一次函数，二次函数，幂函数，指数函数，三角函数等等。其中(a,b∈R,a≠0，n>2)：

y=ax+b，y(n)=0。

y=ax^2+bx+c，y(n)=0。

y=sinx，y(n)=sin(x+nπ/2)。

y=e^x，y(n)=e^x。

y=a^x，y(n)=a^x*(lna)^n

两个u,v函数及多个函数乘积的导数，则一般用公式y(n)=Σ（0,n）C(n,r)(n)*v(n-r).

Answer 5

一般来讲，首先看它是不是常见的那几个函数（指数函数，三角函数）什么的，如果是，直接套公式；
其次：如果不是，则看能不能写成上面几个函数的和式或者乘积表达式，如果是和式，直接用求导法则，如果是乘积，用莱布尼兹法则写出通项后求和即可
再次：观察可不可以对函数求出几阶导数之后变成上面的两种情况；
最后，实在不行，看看能不能用数学归纳法求解。
上面的方法没有前后顺序，呵呵，关键看你的数学感觉。

1、一般来说，当然就是一次一次地求导，要几次导数给几次；
2、上面的方法比较沉闷，而且容易出错，通常根据被求导的函数，求几次导数后，
根据结果，找到规律，然后用归纳法，证明结果正确；
3、在解答麦克劳林级数、泰勒级数时，经常要求高阶导数，找规律是非常需要技巧的，
很多情况下，递推公式(Redunction)是很难找到。
实在找不到时，只能写一个抽象的表达式。

步骤：
第一步：确定函数的定义域．如本题函数的定义域为R.
第二步：求f(x)的导数f′(x).
第三步：求方程f′(x)＝0的根.
第四步：利用f′(x)＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列出表格.
第五步：由f′(x)在小开区间内的正、负值判断f(x)在小开区间内的单调性.
第六步：明确规范地表述结论.
第七步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范．

这个公式是说，对y(x)=u(x)v(x)求n阶导数时候，可以表示为u(x)的n-i阶导数乘v(x)的i阶导数的积的叠加，其系数是C(i,n)。
那个C是组合符号，
C(i,n)=n!/(i!(n-i)!)

莱布尼兹公式好比二项式定理，它是用来求f(x)*g(x)的高阶导数的。展开的形式我就不多说了。
一般来说，f(x)和g(x)中有一个是多项式，因为n次多项式求n+1次导数就变成0了，可以给计算带来方便。

就本题：
y的100阶导数=（x的0阶导数*shx的100阶导数）+100（x的1阶导数*shx的99阶导数）+99*100/2(x的2阶导数*shx的98阶导数)+......
如前所说，x的2阶以上导数都是0,所以上式只有前两项，
所以：y的100阶导数=xshx+100chx

1.把常用初等函数的导数公式记清楚；
2.求导时要小心谨慎，尤其是关于复合函数的导数。


这里将列举六类基本初等函数的导数以及它们的推导过程（初等函数可由之运算来）：
1.常函数（即常数）y=c(c为常数) y'=0 【y=0 y'=0：导数为本身的函数之一】
2.幂函数y=x^n,y'=n*x^(n-1)(n∈R) 【1/X的导数为-1/(X^2)】

基本导数公式
3．指数函数y=a^x,y'=a^x * lna 【y=e^x y'=e^x：导数为本身的函数之二】
4．对数函数y=logaX,y'=1/(xlna) (a>0且a≠1,x>0)；【y=lnx,y'=1/x】
5.三角函数
(1)正弦函数y=(sinx ）y'=cosx
(2)余弦函数y=（cosx） y'=-sinx
(3)正切函数y=(tanx） y'=1/(cosx)^2
(4)余切函数y=（cotx） y'=-1/(sinx)^2
6.反三角函数
(1)反正弦函数y=（arcsinx） y'=1/√1-x^2
(2)反余弦函数y=（arccosx） y'=-1/√1-x^2
(3)反正切函数y=（arctanx） y'=1/(1+x^2)
(4)反余切函数y=（arccotx） y'=-1/(1+x^2)

幂函数同理可证
导数说白了它其实就是曲线一点切线的斜率，函数值的变化率
上面说的分母趋于零，这是当然的了，但不要忘了分子也是可能趋于零的，所以两者的比就有可能是某一个数，如果分子趋于某一个数，而不是零的话，那么比值会很大，可以认为是无穷大,也就是我们所说的导数不存在。
x/x,若这里让X趋于零的话，分母是趋于零了，但它们的比值是1,所以极限为1.
建议先去搞懂什么是极限。极限是一个可望不可及的概念，可以很接近它，但永远到不了那个岸。
导数是微积分的一个重要的支柱。牛顿及莱布尼茨对此做出了卓越的贡献。


最后讲一下你那个题：
====很简单，把原式看做(ax+b)和1/(cx+d)相乘的n阶导数，然后用莱布尼茨公式展开就行了。注意(ax+b)二阶以上的导数全部是0，而1/(cx+d)的n阶导数很好求。

结果应该是：(ax+b)×[(-c)^n×n!/(cx+d)^(n+1)]+n×a×[(-c)^(n-1)×(n-1)!/(cx+d)^n]
刚才失误了。。。忘了阶乘。。。

答案是正确的，你把我的解答同分一下化简就会发现跟答案一样。你自己做的应该是不对的。可以取n=2,3的特殊情况看一下。

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