为什么一致连续的函数在I上一定连续呢？

Question

如题所述

Answer 1

如果函数f(x)在I上一致连续，自然在I上也是连续的；证明如下：
设函数f(x)在I上一致连续，那么对于I上任意一点t，即t∈I；
f(x)是一致连续的，对任取的e>0，存在d>0，当I上任意两点a和b满足|a-b|<d，
有 |f(a)-f(b)|<e ；
对I上的点x和y，当满足 |x-t|<d/2 且 |y-t|<d/2，那么 |x-y|<d/2+d/2=d ；
有 |f(x)-f(t)|=|f(x)-f(y)+f(y)-f(t)|<=|f(x)-f(y)|+|f(y)-f(t)| ；
由于f一致连续，|x-y|<d，|y-t|<d/2<d，那么
|f(x)-f(y)|<e，|f(y)-f(t)|<e ；
则 |f(x)-f(t)|<=|f(x)-f(y)|+|f(y)-f(t)|<2e；
也就是对任取的e>0，存在d'=d/2，当|x-t|<d'，有 |f(x)-f(t)|<2e ；
即f(x)在点t连续；由于点t是在I上任意选取一点，f(x)在I上连续。
所以一致连续函数一定连续。