柯西不等式的条件

Question

有没有要求里面的a1-an, b1-bn全是正数？？

Answer 1

不用全是正数
【1】
①设a,b,c,d均为非零实数，则：
(a²+b²)(c²+d²)≥(ac+bd) ².
等号仅当c/a=d/b时取得。
②设a,b,c,d均为正实数，则：
（a+b）(c+d) ≥[√(ac)+ √(bd) ] ²
等号仅当a/c=b/d时取得。
【2】多元情况：
①设ai和bi （i=1,2,3,…n）均为非零实数，则：
（a1²+a2²+…+an²）(b1²+b2²+…+bn²)≥(a1b1+a2b2+…+anbn) ²
等号仅当b1/a1=b2/a2=…=bn/an时取得。
②设ai和bi（i=1,2,3,…n）均为正实数，则：
(a1+a2+…+an)(b1+b2+…+bn) ≥[√(a1b1)+ √(a2b2)+…+√(anbn)] ²
等号仅当b1/a1=b2/a2=…=bn/an时取得。

Answer 2

任意实数设a1,a2,...,an,b1,b2,...,bn为任意两组实数,则有
(a1*x-b1)^2+(a2*x-b2)^2+...+(an*x-bn)^2>=0
(a1^2+a2^2+...+an^2)*x^2-2x(a1b1+a2b2+...+anbn)+(b1^2+b2^2+...+bn^n)>=0
左边是关于x的2次函数,其值大于等于零,故判别式
4(a1b1+a2b2+...+anbn)^2-4(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^n)<=0
(a1b1+a2b2+...+anbn)^2<=(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^n)
这是柯西不等式,从证明过程看,对所有实数均成立.