关于高数多重积分的问题

Question

在将（2ax-x^2)^1/2=y求反函数的时候什么时候变成a-(a^2-y^2)^1/2什么时候变成a+(a^2-y^2)^1/2变换积分次序的时候有时候就搞混了因为一个是a^2-(x-a)^2=y^2 一个是a^2-(a-x)^2=y^2
如果二重积分的积分区域D1和D2关于y=x对称，那么F(x)=∫∫（D）f（x,y)dxdy=2∫∫（D1）f（x,y)dxdy吗？

Answer 1

第一个问题是：

在变换积分次序的时候，yy=2ax-xx 在什么时候变成x=a-(a^2-y^2)^1/2，又在什么时候变成x=a+(a^2-y^2)^1/2？

回答：

x=a-(a^2-y^2)^1/2时，x的取值<a，所以是在x的值<a的左半圆时候用。

x=a+(a^2-y^2)^1/2时，x的取值>a，所以是在x的值>a的右半圆时候用。

回答第二个问题：

不一定成立。

不仅要考虑积分区域的对称情况，还有考虑被积函数关于积分区域的对称情况才行。

追问

第二个问题就是说如果积分区域对称，但还被积函数关于积分区域的不对称那就不行？

追答

是的。
第二个问题就是说，如果积分区域对称，但是被积函数关于积分区域不对称，那就不行。