定积分求面积

Question

请问什么情况下需要分段算，谢谢

Answer 1

当积分区间[a，b]中有一个曲线函数在(c，d)处不连续时就需要分段来做

才会用上∫(a→b) ƒ(x) dx = ∫(a→c) ƒ(x) dx + ∫(c→b) ƒ(x) dx，c∈[a，b]

例如由曲线x = 2y，x = y²，直线y = 1，y = 2围成的面积：

对于Y型区间来说，明显看到y∈[1，2]

所以面积A = ∫(1→2) (2y - y²) dy

若是换做X型区间的话，可见在x = 2处时函数并不连续，由y = 1变为y = x/2

于是要分段来说，分别求x∈[1，2]和x∈[2，4]两个不同函数围成的面积总和

面积A = ∫(1→2) (√x - 1) dx + ∫(2→4) (√x - x/2) dx

Answer 2

平面坐标系XOY中，如果存在平行于坐标轴的直线与所求面积区域的边界的交点多于两个的情况就需要分段算!