涉及到
三角函数的积分都可以将sin转换成d(-cos)或将cos转换成dsin,来通过分部积分解决。以此题为例,注意到d(-cos nx)=(nsin nx)dx,因此
∫(x²sin nx)dx
=(1/n)∫x²d(-cos nx)
=(1/n)(-x²cos nx-∫(-cos nx)d(x²))
=(1/n)(-x²cos nx+2∫(xcos nx)dx)。
我们看到原来是x²乘一个三角函数,现在变成了x乘一个三角函数,说明此方法有效,继续应用这个方法。注意到d(sin nx)=(ncos nx)dx,因此
∫(xcos nx)dx
=(1/n)∫xd(sin nx)
=(1/n)(xsin nx-∫(sin nx)dx)
=(1/n)(xsin nx+(1/n)cos nx)+C。
故
∫(x²sin nx)dx
=(1/n)(-x²cos nx+(2/n)(xsin nx+(1/n)cos nx))+C
=(1/n)((2/n²-x²)cos nx+(2x/n)sin nx)+C。