5个常用的洛朗展开式：e^z的洛朗展开式；sin z的洛朗展开式；cos z的洛朗展开式；n(1+z)的洛朗展开式；(1+z)^α的洛朗展开式。
1、5个常用的洛朗展开式：
①e^z的洛朗展开式：e^z=∑_{n=-\infty}^{\infty}z^n/n!，其中∣z∣<∞。
②sin z的洛朗展开式：sin z=∑_{n=0}^{\infty}(−1)^n(2n+1)!z^(2n+1)/n!，其中∣z∣<∞。
③cos z的洛朗展开式：cos z=∑_{n=0}^{\infty}(−1)^n(2n)!z^(2n)/n!，其中∣z∣<∞。
④ln(1+z)的洛朗展开式：ln(1+z)=∑_{n=1}^{\infty}(-1)^n/n*z^n，其中∣z∣<1。
⑤(1+z)^α的洛朗展开式：(1+z)^α=sum(α binomial(α,n)*z^n, n=0..∞)，其中∣z∣<1。
2、洛朗展开式的定义：
洛朗展开式是一种将函数表示为幂级数和幂函数的方法，它是基于泰勒展开式的一种推广。在数学分析中，洛朗展开式扮演着重要的角色，它可以将一个复杂函数表示为一系列有理函数的和，从而使我们能够更容易地计算函数的值和导数。
洛朗展开式的特性:
1、唯一性：
洛朗展开式的唯一性是指，对于给定的函数f(z)，其洛朗展开式是唯一的，即不同的函数具有不同的洛朗展开式。
2、收敛性：
洛朗展开式在复平面上的某个区域内是收敛的，这个区域通常称为收敛域。对于不同的函数，收敛域的大小和形状可能不同。
3、展开式系数的连续性：
在洛朗展开式的系数中，相邻两项系数的比值趋向于一个常数，这个常数与z的取值有关。这个性质可以用于计算展开式系数的近似值。
4、应用广泛：
洛朗展开式在数学和物理中有着广泛的应用。例如，在解析函数的定义、性质和运算的研究中，洛朗展开式扮演着重要的角色。此外，在微分方程、积分方程、物理中的量子力学等领域中，洛朗展开式也是常用的工具之一。
5、收敛性：
如果洛朗展开式中的序列{cn}收敛（也就是复级数理论中的局部收敛），那么对于这个级数进行积分（数学分析和物理学中的极限、和积分的概念），那么在洛朗展开式定义的区域内就可以得到原函数的近似值。