sinx除以x的极限是什么？

Question

如题所述

Answer 1

sinx/x极限，当x趋向于0值是1;sinx/x极限，当x趋向于无穷大时值是0。

解析：lim(x→0)sinx/x=1这是两个重要极限之一，属于0/0型极限，也可以使用洛必达法则求出，lim(x→0)sinx/x=lim(x→0)cosx/1=1/1=1lim(x->∞）sinx/x = 0

正弦函数即sinx在第一象限和第二象限是正值，三四象限是负值，而正弦函数中的X一般是小于90°的，所以sin(x+π）是在第三象限的，那么sin(x+π）=-sinx。

或者可以换个角度来思考，使用具体数字带入，不管x取值范围是在0~90°，90°~180°，180°~270°，270°~360°四个范围中的任意一个，加上π之后其正弦函数都会由正转负。

Answer 2

当x趋于0时，sin(x)/x的极限是1。这是一个经典的极限结果，被称为正弦函数的极限。

要证明这个极限，可以使用泰勒级数展开。根据泰勒级数展开，我们有sin(x) = x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + ...，其中!表示阶乘。将这个展开式代入sin(x)/x，得到：

sin(x)/x = (x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + ...) / x = 1 - (x^2)/3! + (x^4)/5! - (x^6)/7! + ...

可以看到，当x趋于0时，除了第一项1以外的所有其他项都会趋向于0。因此，sin(x)/x的极限为1。

需要注意的是，这个结果是在用弧度制度量角度时成立的。如果使用其他度量单位（如角度），则需要进行相应的转换。

Answer 3

当 x 趋近于 0 时，sin(x)/x 的极限是 1。

这个极限被称为正弦函数的振动性质的重要结果之一，也是数学中的一个经典结果。它可以通过多种方法证明，其中一种常见的方法是利用泰勒级数展开。

根据泰勒级数展开，我们知道 sin(x) 可以表示为 x 的无穷级数展开式，即 sin(x) = x - (x³/3!) + (x⁵/5!) - (x⁷/7!) + ...。当我们将这个展开式代入 sin(x)/x，可以看到除去 x 之外的所有项都会趋于 0，因此在 x 趋近于 0 的情况下，sin(x)/x 的极限为 1。

需要注意的是，这个结果只在 x 趋近于 0 的情况下成立。在其他情况下，sin(x)/x 的值将会有所不同。

Answer 4

当求解 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}$ 时，可以使用洛必达法则（L'Hôpital's rule）来计算这个极限。这个法则适用于形如 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 的不定型极限。

首先，我们将极限形式转换为 $\frac{0}{0}$ 的形式：

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = \frac{0}{0}$

然后，对 $\frac{\sin(x)}{x}$ 应用洛必达法则：

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(\sin(x))}{\frac{d}{dx}(x)}$

对于导数计算：

$\frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x)$
$\frac{d}{dx}(x) = 1$

现在，将导数代入洛必达法则：

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)}{1}$

将 $x$ 替换为 0：

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = \frac{\cos(0)}{1} = 1$

所以，$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$。这意味着当 $x$ 趋近于 0 时，$\frac{\sin(x)}{x}$ 的极限是 1。

Answer 5

这道题的答案是1。