三角函数定积分性质公式推导

Question

如题所述

Answer 1

第一种解法对。第二种解法错：倒数第二个等号后面，被积函数后面d(theta)，倒数第一个d(cos(theta))，二者当然不等！

Answer 2

let
u=π-x
du=-dx
x=0, u=π
x=π, u=0
∫(0->π) xf(sinx) dx
=∫(π->0) (π-u)f(sinu) (-du)
=∫(0->π) (π-x)f(sinx) dx
2∫(0->π) xf(sinx) dx=π∫(0->π) f(sinx) dx
∫(0->π) xf(sinx) dx=(π/2)∫(0->π) f(sinx) dx追问

2∫(0->π) xf(sinx) dx=π∫(0->π) f(sinx) dx
∫(0->π) xf(sinx) dx=(π/2)∫(0->π) f(sinx) dx
这后面没看懂，能不能详解，谢谢了

追答

∫(0->π) xf(sinx) dx
=∫(0->π) (π-x)f(sinx) dx
=π∫(0->π) f(sinx) dx -∫(0->π) xf(sinx) dx
∫(0->π) xf(sinx) dx +∫(0->π) xf(sinx) dx =π∫(0->π) f(sinx) dx
2∫(0->π) xf(sinx) dx =π∫(0->π) f(sinx) dx
∫(0->π) xf(sinx) dx=(π/2)∫(0->π) f(sinx) dx

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