什么是正定矩阵

Question

如题所述

Answer 1

设m是n阶实系数对称矩阵，
如果对任何非零向量
x=(x_1,...x_n)
都有
xmx′>0，就称m正定(positive
definite)。
正定矩阵在相似变换下可化为标准型，
即单位矩阵。
所有特征值大于零的矩阵也是正定矩阵。
另一种定义：一种实对称矩阵.正定二次型f(x1,x2,…,xn)=x′ax的矩阵a(a′)称为正定矩阵.

Answer 2

判断一个矩阵是否为正定矩阵有两种方法：
1、求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数，则A是正定的；若A的特征值均为负数，则A为负定的。
2、计算A的各阶主子式。若A的各阶主子式均大于零，则A是正定的；若A的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A为负定的。半正定矩阵的特点：
1、半正定矩阵的行列式是非负的；两个半正定矩阵的和是半正定的；非负实数与半正定矩阵的数乘矩阵是半正定的。
2、设A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列向量x有xTAx≥0x有xTAx≥0，就称A为半正定矩阵。

Answer 3

在线性代数里，正定矩阵有时会简称为正定阵。在线性代数中，正定矩阵的性质类似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式（复域中则对应埃尔米特正定双线性形式）。
广义定义：设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有zTMz>
0，其中zT 表示z的转置，就称M为正定矩阵。
例如：B为n阶矩阵，E为单位矩阵，a为正实数。在a充分大时，aE+B为正定矩阵。（B必须为对称阵）
狭义定义：一个n阶的实对称矩阵M是正定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有zTMz>
0。其中zT表示z的转置。

扩展资料：
判定的方法
根据正定矩阵的定义及性质，判别对称矩阵A的正定性有两种方法：
（1）求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数，则A是正定的；若A的特征值均为负数，则A为负定的。
（2）计算A的各阶主子式。若A的各阶主子式均大于零，则A是正定的；若A的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A为负定的。