在三角形abc中,ab=ac,d是ab上的一点,且ad=2\3ab,df||bc,e为bd中点 若e

Question

在三角形abc中,ab=ac,d是ab上的一点,且ad=2\3ab,df||bc,e为bd中点 若ef丄ac,bc=6,求四边形dbcf的面积

Answer 1

取FC中点M　连接EM
∴DE＝BE　FM＝CM
∴EM为梯形DFCB中位线
∴EM＝（4＋6）÷2＝5
且DF∥EM∥BC
做FK⊥BC交FM于G点
∴∠FKE＝90°
由已知　∠EFC＝90°
∴∠EFG＋∠CFK＝∠EFG＋∠FEM
∴∠CFK＝∠FEM
∵∠EFC＝∠FKC＝90°
∴△EFM∽△FKC
∵AD＝3分之2AB
设DE＝BE＝X　
则AD＝4X
∵DF∥BC
∴△ADF∽△ABC
AD:AB＝DF:BC=4X:6X=2:3
∵BC=6 所以DF=4
做DO垂直BC
∴△DBO≌△FCK
∴CK＝（6－4）÷2＝1　　CF＝DB＝2X
∵△EFM∽△FKC
∴FC:CK＝EM:FM
∴2X:1＝5:X
解得X＝√10/2 (2分之根号10)
∴FC＝√10　 (根号10)
勾股定理算得高FK＝3
∴S＝（DF+BC）×FK÷2
＝（4+6）×3÷2
＝15

Answer 2

∵DF∥BC，∴DF/BC=AD/AB=2/3，
∴DF=2/3BC=4，
延长FE交CB延长线于G，
∵DF∥BC，∴∠G=∠DFE，∠DEF=∠DBG，
∵DE=BE，∴ΔEBG≌ΔEDF，BG=DF=4，
∴S梯形DBCF=SΔGCF，

尽管有EF⊥AC，还是没有条件求SΔGCF或S等腰梯形BCFD。