线性代数多项式，最大公因式第七大题第二小问，怎么做？

Question

如题所述

Answer 1

可以因式分解在先：
f(x) = x^3(x+1)-(3x+1)(x+1) = (x+1)(x^3-3x-1)
g(x) = x^2(x+1)-(x+1) = (x+1)(x^2-1)
因为 (x^3-3x-1) 与 (x^2-1) 互质，所以最大公因式为 x+1.
f(x)u(x) + g(x)v(x) = (f(x),g(x)) = x+1
两边消去 x+1, 得：(x^3-3x-1)u(x) + (x^2-1)v(x) = 1
取 u(x) = 1, v(x) = -(x^3-3x-2)/(x^2-1)

Answer 2

辗转相除法
f(x)=x^4 -x^3 - 4x^2+4x+1 ,g(x)=x^2 -x-1
f(x) = g(x)(x^2 -3)+x -2

g(x)=(x-2) (x +1) +1
所以f(x), g(x)互质，(f(x),g(x)) =1