5.9.1 连续损伤力学简介
岩石统计损伤理论基于纤维束模型。该模型最早由Perice在1926年提出［53］，认为材料由大量长度相等、强度不等的纤维组成，各根纤维相互平行，在侧向相互独立。一根纤维断裂，相当于在材料中形成微裂纹形式的局部断裂，不再承载；但它通常并不引起整个纤维束的断裂。材料的宏观载荷平均分布在没有断裂的纤维束上，因而纤维承载的实际应力要大于名义应力，即载荷与纤维束总面积的比值。这种模型固然粗糙，但对于定性理解材料的力学行为和破坏机理，尤其是对于材料的拉伸破坏行为［54］，具有一定的意义。
Weibull的强度统计理论得到广泛应用。设纤维束的强度是拉伸应变ε的分布函数，那么在应变ε时，已经断裂的纤维所占比例是
岩石的力学性质
相应的强度概率密度函数是
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如果所有的纤维都具有相同的杨氏模量E0（当然也可以假设不同强度的纤维具有不同的杨氏模量），那么未断裂的纤维承载的应力是E0ε，拉伸过程中名义应力-应变关系为
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Kachonov提出用连续度的概念描述材料的渐进损伤，认为材料的劣化是微缺陷导致的有效承载面积的减小［55］。值得注意的是，有效承载面积已经综合考虑了缺陷处的应力集中和相互作用，因而并不是一个实际的几何参数。外加载荷F与有效承载面积
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式中：ω是已失去承载能力的面积所占比例，通常称为损伤变量；σij为Cauchy应力，或名义应力。材料的损伤在空间是连续分布的，与纤维束理论不同。
对于有效应力，认为弹性力学的本构关系依然成立。这就是Lemaitre的应变等效假设［56］。因此只要确定损伤变量与应力-应变的关系，利用弹性力学就可以解决材料的损伤破坏问题。通常假设损伤具有各向同性特征，当然各向异性的损伤力学也在研究之中。
在单向拉伸时有
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或
σ=E0ε（1-ω）=Eε （5.72）
式中，E为割线模量——应力-应变曲线上割线的斜率，则损伤变量可以表示为
ω=1-E/E0 （5.73）
如果得到试样的应力-应变曲线，则由上式就可以确定损伤变量。一维脆塑模型，Mazars损伤模型、Loland损伤模型以及分段线性损伤模型，都是基于对单向拉伸曲线的描述确定损伤变量。对于单向压缩，则以等效应变
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式中，角括号的定义是＜x＞=（x+｜ x｜）/2，即负数为零，而正数为自身。即以单向压缩时泊松效应产生的拉应变来讨论材料的损伤。这里并没有岩石内部微元体强度不等的概念，只是说随着拉伸变形增大，材料逐步劣化。
Hudson J A 和 Harrison J P 著作《Engineering Rock Mechanics：An introduction to the principles》对Weibull 理论的评述值得一读［57］：
The probability density function for any test condition can be established and hence the intertest variation can be predicted.One of the most useful formulae to arise from this approach is
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where σt1and σt2are the mean tensile strengths obtained for two sets of samples with different volumes（for any test configuration），V1and V2are the associated specimen volumes，m is one of three material constants used in Weibull’s theory.This provides a direct relation between the mean tensile strength and the specimen volume.
At this stage，we should like to caution the reader.Weibull’s theory is solely statistical and does not include any specific mechanism of fracture and failure.Moreover，the formula above is represented by the ubiquitous straight line in log-log space.There have been several published‘verifications’of the theory，based on the straight lines in log-log space，but these results alone do not isolate Weibull’s theory.Indeed，any such confirmation for the validity of the formula in compression tests is highly unlikely to be valid because of the distinction between failure initiation and failure propagation in the compression tests.
This cautionary note related to the avoidance of blind acceptance of any particular theory based on power laws（and material constants which can be determined by curve fitting）applies to all rock testing，and particular to failure criteria.
上述斜体部分是文献［57］中原有的。
注：以上讨论都是以拉应力和拉应变为正；而以下介绍岩石力学问题时，均以压应力、压应变为正。
5.9.2 单向压缩的岩石统计损伤力学
上述唯象的连续损伤力学、应变等效假设也被引入岩石力学领域。文献［58］假设岩石材料微元体强度满足Weibull分布，试样单轴压缩时应力-应变关系就是前面的公式（5.70）
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在得到实际岩样单轴压缩的应力-应变全程曲线后，根据初始切线模量确定E0，根据峰值应力和峰后曲线的拐点，即上式一阶导数和二阶导数的零点可以确定参数m和F。用上式表示岩样单轴压缩的变形时，实际上默认材料的损伤在岩样内部是均匀分布的。因而，损伤变量只是对岩石变形特性的数学描述，并不符合物理事实。
这样的损伤模型具有一个明显的缺点：试样卸载后不会产生残余变形，重复加载与卸载过程完全相同。此外，岩样单轴压缩初期内部裂隙闭合，切线模量逐步增大，与损伤概念的不符。文献［59］提出的负损伤当然可以描述加载初期的非线性变形，但总是有些奇特。
通过假设岩石微元体强度满足不同的分布形式，如正态分布，可以使理论公式与试验曲线有更好的拟合。不过，岩石的强度不可能为负值，因而利用正态分布描述略有些勉强，尽管在离开均值稍远处分布密度较低，可以忽略。文献［11］认为损伤材料具有一定的承载能力，因而引入小于1 的系数δ，表示损伤面积中真正失去承载能力所占的比例，因而
σ=E0ε（1-δD） （5.75）
通过与岩样单轴压缩应力-应变曲线的拟合可以确定δ。上式的缺点是在峰后应力存在最小值，此后应力随应变增大而增大。不过，必须认识到，岩石试样具有离散性，从同一岩块加工的、形状完全相同的试样，单轴压缩应力-应变全程曲线也有所差异，通过对某一特定曲线拟合得到的δ=0.98并没有多大价值。
5.9.3 岩石统计损伤强度准则
岩样实际处于三向应力状态，前面各节已经讨论了多种形式的强度准则。目前，基于岩石内微元体逐步损伤的统计损伤强度准则受到广泛重视。不过，得到的一些结果形式复杂，需要利用试验结果确定大量的参数，且只是用那些确定参数的常规三轴试验结果的检验，没有讨论在应力空间的形式，更没有与真三轴压缩的试验结果进行比较。下面简单介绍一种统计损伤强度准则的构造方法［60］。
认为Hooke定律在岩石的损伤过程中对有效应力依然成立，
σ1=Eε1（1-D）+ν（σ2+σ3） （5.76）
式中：σi为名义主应力；各向同性的损伤因子D由岩石微元体的强度分布确定，假设满足Weibull分布，则有
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假设微元体满足Drucker-Prager强度准则，
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利用公式（5.77）和（5.76）消去（5.76）中D，再对ε1求导，确定σ1达到极值时满足的关系，即岩石统计损伤强度准则［60］
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式中，F0、m为Weibull分布参数，反映岩石的力学性质。文献［60］又从文献［61］间接引用文献［62］的常规三轴压缩试验结果，利用曲线拟合得到：
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F0=110.56674 ln（σ3+8.74961） （5.81）
不过文献［60］给出的该岩石Drucker-Prager准则的σ1—σ3关系远离试验结果，明显有误。公式（5.79）～（5.81）过于复杂，缺少力学含义，似不能称为强度准则。
基于等效应变假设，认为三轴压缩下应力与应变满足公式（5.76），以微元体强度服从Weibull［63，65］分布或正态分布［64］，以D-P准则作为破坏准则，又做了若干假设之后，文献［63～65］得到了不同围压下岩样的应力-应变全程曲线。不过这些计算结果都不能描述单轴压缩时岩样脆性破坏和围压下压缩的渐进破坏，不能描述随着围压增大峰值附近屈服过程的逐步增大，不能描述残余强度。不同围压下的全程曲线都只是几何相似，而文献［64］的曲线则是完全不随围压变化。
5.9.4 损伤因子和等效应力描述岩石变形破坏的讨论
任何材料都含有一定的初始缺陷，损伤力学研究外载和环境作用下细观缺陷引起材料或结构劣化的力学过程，有细观损伤力学和连续损伤力学两个主要分支。细观损伤力学研究各种典型损伤基元，如微裂纹、微空洞等以及组合的变形与演化过程，再利用某种平均化过程得到材料的宏观力学性质。不过，岩石是由矿物颗粒构成的，尺度在毫米量级或更大，与细观损伤力学的基础，微缺陷之外的材料是均匀各向同性的，相距甚远。连续损伤力学利用连续介质力学和热力学的唯象方法，考察损伤对材料宏观力学性质的影响与结构损伤演化的过程和规律，希望所预测的材料宏观力学行为符合试验结果和实际情况。这种唯象方法数学上比较简单，在岩石力学领域得到广泛的应用，发表了大量的论文。
文献［66］对岩石损伤力学的评述笔者完全赞同，不再重复。不过，许多研究是基于等效应力原理，利用各种形式的损伤因子来模拟岩石试样轴向压缩的全程曲线。对此似乎仍有讨论的必要。在连续损伤力学中利用损伤因子将材料的损伤连续化，以基于有效承载面积即等效应力定义的损伤因子最为常用：
D=（A-A′）/A （5.82）
式中，面积A′是面积A中能够承载的有效面积，于是应力-应变关系可以写为
σ=（1-D）E0ε （5.83）
式中，E0是没有损伤时材料的杨氏模量。损伤变量D可以表示为割线模量的变化
D=1-E/E0 （5.84）
式中，E是发生损伤后的杨氏模量。毫无疑问，在拉应力状态下基于“有效承载面积”的概念，计算材料承受的“真实应力”，以试样单向拉伸时的卸载模量利用式（5.84）计算损伤因子［54］，在物理上还是可以接受的，尽管有“为时太晚和过于宏观”的缺点［67］。不过，裂纹可以承载压应力并通过摩擦承载剪切力，这使得岩样轴向压缩的变形、承载与内部材料损伤状态关系极度复杂，不能用公式（5.84）来简单地表示。但在岩石力学中常常不是利用卸载模量、而是利用一些假设来确定损伤因子D，得到岩样单轴压缩的全程曲线式（5.83）；而围压下压缩时则写为
σ1=E0ε1（1-D）+2νσ3 （5.85）
该岩石应力-应变关系具有3个明显缺点：①岩石的损伤是各向同性的；②卸载时没有残余变形；③破坏后没有残余强度。因而假定岩石微元体强度服从正态分布，满足D-P准则等建立的公式（5.85），只是对全程曲线的数学描述，并不具备物理基础。这是不容回避的事实。或许，局部微元体达到承载极限后，其承载能力是如何变化的，对周围材料承载和变形是如何影响的，可能是最为关键的问题。
利用应变建立的各种关系只能描述岩样峰值应力之前的部分，岩样峰后的屈服破坏具有明显的局部化特征，并不能用表示岩石平均变形的应变来描述。具体地说，峰值应力之后，损伤断面逐步增大，试样承载降低，而未达到承载极限的材料将卸载不再损伤。不同长度的试样，破坏断面大致相同，并不是随长度线性增加，因此应力-应变关系随长度而变化［68］。从特定试样，如直径为50mm、长度为100mm的标准试样全程曲线确定的损伤变量并不能描述其他长度的试样。
以等效应力为基础的损伤因子，固然可以在数学上描述岩石试样轴向压缩的应力-应变全程曲线。不过，岩石承载压应力，材料发生损伤之后完全可以继续承载，而承载能力与应力状态关系极大。就此而言，损伤因子描述的岩石变形关系不具备物理基础，应用于工程实际更是困难。