f''>k>0 ==> f' 是严格递增函数, 且 f'(x)>= kx+ f'(0). 于是 f(x)>=k/2 x^2 +f'(0) x + f(x0). 显然 当x=x0充分大时，右边>0, ==> f(x0)>0. f连续，所以存在0<x1<x0, 使得 f(x1)=0.
下面证零点的唯一性。
情形1. f'(0)>=0,
因为 f' 是严格递增函数， 所以x>0时，恒有 f'(x)>0==> f严格递增==》 零点唯一。
情形1. f'(0)<0,
因 f'(x)>=kx+f'(0), 存在x0>0, 使得 f'(x0)=0. 于是有 当 0<x<x0时，f'(x)<0, 当x>x0时， f'(x)>0
于是 当 0<x<x0时 f(x)<f(0)<0, 没有零点。
当 0<x<x0时， f严格递增==》 零点唯一。
下面证零点的唯一性。
情形1. f'(0)>=0,
因为 f' 是严格递增函数， 所以x>0时，恒有 f'(x)>0==> f严格递增==》 零点唯一。
情形1. f'(0)<0,
因 f'(x)>=kx+f'(0), 存在x0>0, 使得 f'(x0)=0. 于是有 当 0<x<x0时，f'(x)<0, 当x>x0时， f'(x)>0
于是 当 0<x<x0时 f(x)<f(0)<0, 没有零点。
当 0<x<x0时， f严格递增==》 零点唯一。
温馨提示：答案为网友推荐，仅供参考
第1个回答 2012-12-18
等等我晚上吧追问
偶~~
追答假没在（0，正无穷）内存在2点X1与X2使f(X1）=0 f(X2）=0
根据洛尔定理：存在X0 当X1k>=0 所以f`(x)在（0，正无穷）是增函数
所以当X10
所以f``(c)=(f`(x1)-f`(x0))/(x1-x0)=f`(x1)/(x1-x0)k>=0
所以f``(c)>0 这与（1）矛盾。
所以假没在（0，正无穷）内存在2点X1与X2使f(X1）=0 f(X2）=0不正确
即f(x)在（0，正无穷）内存在唯一零点。
相似回答