累次积分交换次序方法

Question

如题所述

Answer 1

二重积分交换积分顺序为：先从左到右然后从上到下积分，或一次性先从上到下然后从左到右积分。

交换积分区域的方法是：

1、先画出积分区域的草图，并解出联立方程的交点坐标。

2、从原则上来说，尽可能一次性地积分积出来最好，也就是说，积分区域最好是一个联通域，在这个联通域内，不需要将图形分块。

换句话说，就是一次性先从左到右然后从上到下积分，或一次性先从上到下然后从左到右积分。第一次一般是从函数积分积到函数，第二次一般是固定的一点积分到另一点。

3、有时候上面的方法并不适用，不得不将图形切割成几小块，这是有被积函数的形式决定的。譬如sin（x^2）根本无法积分，如果能先对y积分，积到y=x，就可以积出来了。

二重积分的几何意义：

二重积分和定积分一样不是函数，而是一个数值。因此若一个连续函数f（x，y）内含有二重积分，对它进行二次积分，这个二重积分的具体数值便可以求解出来。如函数，其积分区域D是由所围成的区域。

其中二重积分是一个常数，不妨设它为A。对等式两端对D这个积分区域作二重定积分。故这个函数的具体表达式为：f（x，y）=xy+1/8，等式的右边就是二重积分数值为A，而等式最左边根据性质5，可化为常数A乘上积分区域的面积1/3，将含有二重积分的等式可化为未知数A来求解。

二重积分是二元函数在空间上的积分，同定积分类似，是某种特定形式的和的极限。本质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行积分，称为曲面积分。