线性插值法是一种常用的数值计算方法，用于估计在给定数据点之间的数值。其计算公式如下：
对于已知数据点 (x₀, y₀) 和 (x₁, y₁)，要求在这两个点之间的某个位置 x 的估计值 y。
首先计算 x 相对于 x₀ 和 x₁ 的比例因子：
t = (x - x₀) / (x₁ - x₀)
然后使用比例因子 t 对 y₀ 和 y₁ 进行线性插值计算：
y = y₀ + (y₁ - y₀) * t
其中，y 表示在位置 x 处的估计值。
线性插值法基于两个已知数据点之间的直线插值，假设函数在两个数据点之间是线性变化的。该方法简单易用，适用于许多情况下的数值估计，但对于曲线变化较大的情况可能精度有限，此时可以考虑其他插值方法如二次插值、样条插值等。
线性插值法的推导如下：
假设有两个已知数据点 (x₀, y₀) 和 (x₁, y₁)，要求在这两个点之间的某个位置 x 的估计值 y。
首先考虑两点之间的直线，通过点斜式可得：
y - y₀ = m(x - x₀)
其中 m 表示直线的斜率，可以通过两个已知点之间的差分求得：
m = (y₁ - y₀) / (x₁ - x₀)
代入点斜式方程，可得：
y - y₀ = ((y₁ - y₀) / (x₁ - x₀)) * (x - x₀)
整理后得到：
y = y₀ + ((y₁ - y₀) / (x₁ - x₀)) * (x - x₀)
这就是线性插值法的计算公式。
这个公式表达了在已知数据点 (x₀, y₀) 和 (x₁, y₁) 之间任意位置 x 的线性插值估计值 y。公式的推导基于直线的点斜式和斜率的计算，通过将 x 带入直线方程中，得到对应的 y 值。线性插值的基本思想是利用已知数据点之间的直线关系，简化曲线的估计问题。
线性插值法的应用非常广泛，以下是一些常见的应用场景
1. 数据处理：当存在一组离散数据点时，可以使用线性插值法来填充丢失的数据或者估计未知的数据。通过将已知数据点进行线性拟合，可以在两个已知数据点之间的位置上估计未知数据。
2. 图像处理：在图像处理中，线性插值法常用于图像的放大、缩小、旋转等操作。通过对图像像素间的灰度进行线性插值，可以生成具有更高分辨率的图像或者调整图像的尺寸。
3. 数值计算：在线性插值法中，给定一段曲线上的两个点，可以使用线性插值法来估计该曲线上其他位置的函数值。这在数值积分和微分方程数值解等问题中都有广泛的应用。
4. 绘图和可视化：在绘图和可视化中，线性插值法常用于平滑曲线和曲面，使得曲线或曲面更加连续和光滑。通过在已知数据点之间进行线性插值，可以得到连续的曲线或曲面，提升可视化效果。
线性插值法的计算公式例题
假设有以下已知数据点：
(x₀, y₀) = (2, 4)
(x₁, y₁) = (6, 10)
现在我们要在 x = 4 的位置上进行线性插值，即求出对应的 y 值。
首先，计算 x 相对于 x₀ 和 x₁ 的比例因子：
t = (x - x₀) / (x₁ - x₀) = (4 - 2) / (6 - 2) = 2/4 = 0.5
接下来，利用比例因子 t 对 y₀ 和 y₁ 进行线性插值计算：
y = y₀ + (y₁ - y₀) * t = 4 + (10 - 4) * 0.5 = 4 + 6 * 0.5 = 7
因此，在 x = 4 的位置上，线性插值法给出的估计值为 y = 7。
这个例题展示了如何使用线性插值法来计算在已知数据点之间某个位置的估计值。通过计算比例因子，并将其应用于两个数据点之间的差值，我们可以得到所需位置上的估计值。