为什么n=2的n次方根是1/2？

Question

如题所述

Answer 1

要证明对于任意正整数 n（n ≥ 2），n 的 n 次方根的极限为 1，我们可以使用数列极限的定义和数学归纳法来进行证明。
步骤如下：
第一步：设定要证明的数列。我们可以定义一个数列 an = n^(1/n)，其中 n 是一个自然数。
第二步：证明数列 an 是递减的。我们可以观察到，当 n 增大时，分子 n 的 n 次方增长较快，而分母 n 的增长相对较慢。因此，对于任意 n ≥ 2，我们有 n^(1/n) < (2^n)^(1/n) = 2. 根据数学归纳法的原理，我们可以证明在 n ≥ 2 的范围内，对于任意的 m > n ≥ 2，有 am > an。因此，数列 an 是递减的。
第三步：证明数列 an 有下界。我们知道 an > 0，因为 n 是正整数。另外，我们可以使用不等式 2^n > n，其中 n ≥ 2（这个不等式可以通过数学归纳法证明）。结合这个不等式，我们可以得出结论：an = n^(1/n) > 2^(1/n) > 1. 因此，数列 an 有下界 1。
第四步：应用单调有界原理。根据单调有界原理，一个递减有下界的数列必定存在极限。这意味着数列 an 的极限存在。
第五步：确定极限值。假设数列 an 的极限为 L，那么我们有以下等式：L = lim (n∞) (n^(1/n)). 我们将等式两边取 n 的自然对数，可以得到 ln(L) = lim (n∞) (ln(n) / n). 注意到当 n 达到无穷大时，ln(n) 的增长速度小于 n 的增长速度。因此，右侧的极限可以视为形如 0/∞ 的形式。应用洛必达法则，我们可以得到 ln(L) = lim (n∞) (1/n) = 0. 这意味着 ln(L) = 0，即 L = e^0 = 1。因此，数列 an 的极限为 1。
因此，我们证明了对于任意正整数 n（n ≥ 2），n 的 n 次方根的极限为 1。