第二类不定积分换元法

Question

求∫1/√(x^2-a^2)*dx
令x=asect，0<t<π/2,x>a
请问当x<-a时怎么做？

Answer 1

其实这个地方就是分两种情况讨论一下：
设x=asect 0<t<π/2, 此时x为正值，即x>a：
∫1/√(x^2-a^2)*dx
=∫asect tgt dt/atgt
=∫sectdt
=ln(sect+tgt)+c 将sect=x/a, tgt=√(x/a)^2-1 代入：
=ln(x/a +√(x/a)^2-1)+c

当π/2<t<π, 此时x为负值，即x<-a：
∫1/√(x^2-a^2)*dx
=∫asect tgt dt/（-atgt）
=-∫sectdt
=-ln│sect+tgt│+c
=ln（1/│sect+tgt│）+c 将 sect=x/a, tgt=-√(x/a)^2-1 代入：
=ln│x/a +√(x/a)^2-1│+c

所以综上答案可以表示为：
∫1/√(x^2-a^2)*dx=ln│x/a +√(x/a)^2-1│+c

以上答案仅供参考，如有疑问可继续追问！