关于不定积分的第二类换元法

Question

如题所述

Answer 1

不管是不定积分第一类换元法，还是第二类换元法，都是采用变量代换的方法，来达到简化不定积分的目的。
利用第二类换元法化简不定积分的关键仍然是选择适当的变换公式
x
=
φ(t)。此方法主要是求无理函数(带有根号的函数)的不定积分。由于含有根式的积分比较困难，因此我们设法作代换消去根式，使之变成容易计算的积分。
下面我简单介绍第二类换元法中常用的方法：
（1）根式代换：被积函数中带有根式√(ax+b），可直接令
t
=√(ax+b）；
（2）三角代换：利用三角函数代换，变根式积分为有理函数积分，有三种类型：
被积函数含根式√(a^2-x^2），令
x
=
asint
被积函数含根式√(a^2+x^2），令
x
=
atant
被积函数含根式√(x^2-a^2），令
x
=
asect
注：记住三角形示意图可为变量还原提供方便。
还有几种代换形式：
（3）倒代换（即令
x
=
1/t）：设m,n
分别为被积函数的分子、分母关于x
的最高次数，当
n-m＞1时，用倒代换可望成功；
（4）指数代换：适用于被积函数由指数
a^x
所构成的代数式；
（5）万能代换（半角代换）：被积函数是三角函数有理式，可令
t
=
tan(x/2)

Answer 2

利用第二类换元法化简不定积分的关键仍然是选择适当的变换公式
x
=
φ(t).两边对自变量微分得dx=φ’(t)dt.
此方法主要是求无理函数(带有根号的函数)的不定积分.由于含有根式的积分比较困难,因此我们设法作代换消去根式,使之变成容易计算的积分.
下面我简单介绍第二类换元法中常用的方法：
（1）根式代换：被积函数中带有根式√(ax+b）,可直接令
t
=√(ax+b）；
（2）三角代换：利用三角函数代换,变根式积分为有理函数积分,有三种类型：
被积函数含根式√(a^2-x^2）,令
x
=
asint
被积函数含根式√(a^2+x^2）,令
x
=
atant
被积函数含根式√(x^2-a^2）,令
x
=
asect
扩展资料：
分部积分法：
设函数和u，v具有连续导数，则d(uv)=udv+vdu。移项得到udv=d(uv)-vdu。
两边积分，得分部积分公式
∫udv=uv-∫vdu。
⑴
称公式⑴为分部积分公式．如果积分∫vdu易于求出，则左端积分式随之得到．
分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择u,v。
参考资料：不定积分_百度百科

Answer 3

换元的根本目的是要将式子中原本的根号去掉。
比如：
被积函数含根式√(a^2-x^2），令
x
=
asint，源式化为
a*cost。
利用第二类换元法化简不定积分的关键仍然是选择适当的变换公式
x
=
φ(t)。此方法主要是求无理函数(带有根号的函数)的不定积分。由于含有根式的积分比较困难，因此我们设法作代换消去根式，使之变成容易计算的积分。
下面我简单介绍第二类换元法中常用的方法：
（1）根式代换：被积函数中带有根式√(ax+b），可直接令
t
=√(ax+b）；
（2）三角代换：利用三角函数代换，变根式积分为有理函数积分，有三种类型：
被积函数含根式√(a^2-x^2），令
x
=
asint
被积函数含根式√(a^2+x^2），令
x
=
atant
被积函数含根式√(x^2-a^2），令
x
=
asect
注：记住三角形示意图可为变量还原提供方便。
还有几种代换形式：
（3）倒代换（即令
x
=
1/t）：设m,n
分别为被积函数的分子、分母关于x
的最高次数，当
n-m＞1时，用倒代换可望成功；
（4）指数代换：适用于被积函数由指数
a^x
所构成的代数式；
（5）万能代换（半角代换）：被积函数是三角函数有理式，可令
t
=
tan(x/2)。
拓展资料：
在微积分中，一个函数f
的不定积分，或原函数，或反导数，是一个导数等于f
的函数
F
，即F
′
=
f。
不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。其中F是f的不定积分。
三角万能公式：
sin(a)
=
[2tan(a/2)]
/
{1+[tan(a/2)]²}
cos(a)
=
{1-[tan(a/2)]^2}
/
{1+[tan(a/2)]²}
tan(a)
=
[2tan(a/2)]/{1-[tan(a/2)]^2}