半径R的均匀带电半球壳,带电量为q,球心为Q,P,Q为轴上对称的两点PO=QO。如已知P点的电势为Up，求Q点电势Uq

Question

物理问题

Answer 1

设P与Q点到球心的距离为b，将半球面分割为以OP为轴的无穷多个圆环，各圆环在P点产生的电势dU=dq/4πεr     

取其中任一圆环，圆环上一点与球心的连线和OP轴夹角为a，a从0到π/2


dq=2πR²sinada        r=√[(Rsina)²+(Rcosa+b)²]=√(R²+b²+2bRcosa)

代入dU积分得:   Up=R[R+b-√(R²+b²)]/2εb

同理:  Uq=-R[R-b-√(R²+b²)]/2εb

Up/Uq=-[R+b-√(R²+b²)]/[R-b-√(R²+b²)]


所以: Uq=-Up[R-b-√(R²+b²)]/[R+b-√(R²+b²)]

追问

答案是2kq\R-Up

追答

不好意思，dq里面少乘了半球面电荷密度σ


σ=q/2πR²       

另外:  k=1/4πε     所以σ=2εkq/R²

这样的话，只要在电势上乘以σ就得到:

                  Up=(kq/Rb)[R+b-√(R²+b²)]

                  Uq=-(kq/Rb)[R-b-√(R²+b²)]

 所以: Up+Uq=2kq/R