.对角线交点到各边中点的距离都相等的四边形是菱形如何证明

Question

如题所述

Answer 1

　　如上图,

　　已知:AC,BD为四边形ABCD的两条对角线，E，F,G,H分别为AB,AD,CD,BC的中点，且OE=OF=OG=OH

　　求证:四边形ABCD为菱形

证明：因为FG,EH分别是∆ABC和∆DBC的中位线，由中位线定理，EH∥AC,2EH=AC,GF∥AC,2GF=AC，所以GF∥EH,GF=EH，所以四边形EFGH是平行四边形；

 

　　因为OH=OE,所以点O在HE的中垂线上，同理,O在GF的中垂线上，HE,GF的中点分别为K,M,则O,K,M三点共线，HG,EF的中点分别为N,P,同理可得O,N,P三点共线，且NP是EF的中垂线；

　　又OK为∆HEF的中位线，所以OK∥EF,于是EF⊥EH；由于NP⊥EF,KM⊥HE,故KM⊥NP;

　　那么在∆OCD中，∠DOC=90度，故OH=HC=HD，则CD=2OH,同理可得BC=2OG,AB=2OF,AD=2OE,又OE=OF=OG=OH,故，AB=BC=CD=AD,则四边形ABCD为菱形。

 

来自：求助得到的回答