一个物理问题

Question

很早以前就发现的一个问题，但一直没有得到很好的答案
问题是：用一个矿泉水瓶装半瓶水。摇晃后斜放，就会有许多小气泡附在水瓶的侧壁上。气泡有大有小。此时轻轻一弹，气泡就都浮上去了。但这些气泡浮上去的速度不同。大气泡跑得快，小气泡慢。而且现象很明显。
简单说就是压强、密度、浮力的问题。
我想问的就是水中的气泡为什么大气泡上升得快，小气泡上升得慢？
气泡大小是因为里面空气的量的多少的问题。
如果简单的看气泡大浮力大气泡小浮力小，那就和在地上下落的物体一样了，重的轻的其实是相同的速度。所以不那么简单
首先，体积与压强有关。压强与表面积有关，表面积是2次，体积是3次。这有个差值。我觉得是问题的关键。其次，阻力应该和速度有关。就像雨滴下落到一定速度阻力就等于重力，就匀速下落。
Alt__F4. 由于某种原因无法把最后补充答案放上来，所以我在这里（帮他）补充：
PV=nRT
P气
=RT*n/V
=RT*（m/气体分子量）/V
=RT*ρ气/气体分子量
所以
P 正比于 ρ气
上升过程中,P液减小，P气自然要随着减小，所以气泡变大，气体密度变小
在某一固定高度上 气体的密度就是差不多
所以 液体压强对气体体积的影响可以忽略

Answer 1

----------楼主看这里，这里有全面的解答哦-------

考虑以下几方面：

[1]考虑由（浮力-重力）产生的加速度

ρ液v排g-mg=ma
ρ液v排g=ρ气v排(a+g)
a=（ρ液/ρ气 -1）g

这个结果显然跟体积无任何关系，不会影响到加速度，自然不会影响到速度变化，不会影响速度

（楼上的教师说的是错的，气泡跟气球是不一样的，气球的质量是 塑料薄膜+气体 因为薄膜比气体质量大很多，相对可以忽略气体 只考虑薄膜质量， 而气泡不存在这样的薄膜，它的质量就是 气体质量）

[2]考虑水阻力产生的负加速度的影响(暂时不考虑形变，认为是纯圆形气泡，形变下一个考虑)

阻力f正比于 半径r的平方，正比于速度v的平方
记阻力为 f阻=krrvv
krrvv=ma=ρ气(4pai/3)rrra
a=3kvv/(4paiρ气r)
就是因为 阻力跟 r2次方成正比，而体积跟r3次方成正比，由于这相差的1次方，导致了 r大的时候，这个负加速度的绝对值反而小。

因此，阻力对 大气泡的阻碍效果 要比小气泡小。

那么具体有多大影响呢？

我们考虑，如果没有阻力，那么气泡会以[1]中的加速度a=（ρ液/ρ气 -1）g，向上匀加速运动，由于ρ液/ρ气比值很大，所以这个加速度会非常大，气泡会疯狂加速。

但是事实上，我们并没有观察到“疯狂的气泡”，实际上气泡的加速程度是很有限的。

这说明 这个加速度 大部分都被 水阻力的负加速度 抵消掉了。 所以 阻力在此绝对不能忽略，而且不仅不能忽略，还是一个非常重要的因素。

因此[2]中得到的 阻力跟r成反比的结论可以看出，如果两个气泡的r是1：2 ，那么阻力加速度绝对值比值是2：1，这个比值还是很可观的。

[3]考虑速度对阻力的影响

在[2]中我们仅仅思考了r 对阻力的影响。 事实上v对阻力的影响也特别大。阻力跟v2次成正比，当v 越来越大的时候，阻力快速增加。于是会出现，当v 达到一定程度的时候，阻力跟[1]中的浮力相等，于是水泡达到 稳定的速度最大值，水泡变成匀速上升。（当然要水瓶子足够高，以使水泡们有机会达到这个速度稳定最大值），下面我们来计算一下这个最大值。

当达到稳定最大值时，
阻力=（浮力-重力）
也就是[1]和[2]中 得出的两个加速度绝对值相等
（ρ液/ρ气 -1）g=3kvv/(4paiρ气r)
于是我们得到最大速度为
v =(4pai/3k)(ρ液-ρ气)gr

我们可以看到，最后的稳定速度，跟半径是成正比的。半径大的最后能达到的稳定速度大。

[2]让我们知道，速度相等时，半径大的获得的加速度大
[3]让我们知道，半径大的可以达到的稳定速度上限更大

[4]考虑形变对阻力的影响

形变对浮力和重力无影响，浮力和重力只跟体积有关，跟形状无任何关系

但是形变对浮力的影响却不能忽略

气泡如果不运动的话，在水中的稳定状态 应该是标准的球形。 但是一旦运动中遇到阻力会变成规避阻力的流线型。

体积越大的气泡，他的形变量越大，但是是不是 大气泡与小气泡的形变比例是相同的呢。答不是的，越大的 形变比例会越大。

如果受力相同，体积大的形变比例要更大（同样要脚踩一个20厘米直径的乒乓球，和一个标准尺寸的乒乓球，假如他们材质都一样，很容易知道小的更难被踩瘪）。原因就在于，曲率半径越小，在工程学上这个物体结构就越稳定。

更何况 他们受力是不一样的，大气泡受力更大，所以形变比例就更大了。

于是形变比例 在大气泡身上会更大，自然规避掉的 由阻力产生的加速度就会更多。

我们来看看这个形变到底有多大影响：
仔细观察一下就可以知道，在横切面上形变还是可以观察到的。大气泡会有变成胖黄瓜形状的趋势。假设半径仅仅变化了20%，也就是半径变成以前的0.8，那么阻力跟r成正比，自然也会变成0.8倍，还是很可观的，大概就是这个数量级的影响。

而且不单瞬时的阻力小了，瞬时加速度增加了，而且最终的稳定最大速度也会提高。1/80% -1，就是提高25%

（注意这里解释的是 大气泡“形变比例”更大的原因，而不是“形变”更大的原因，大气泡“形变”更大是不需要解释的吧。）

综合[1][2][3][4]，我们可以知道，大气泡上升的速度会更大

PS:有的楼层说，大气泡浮力大，所以走的快。这是典型牛2定律没掌握导致的错误哦。 不是受力大就走得快的。力要除以质量，得到加速度，在初速度相同都为0的情况下，这个加速度才能反应物体运动情况。不要忘记力要除以质量。

--------不是复制粘贴的哦，是我亲手敲的-------

Answer 2

很简单的一个道理 F浮=ρ液*g*V排 （物体排开液体的体积）

大气泡体积大 排开液体的体积也大 自然上升的快

Answer 3

搂主，首先更正你一个常识性的小错误，流体对物体的阻力和物体运动的平方成正比
然后我试着回答下你的问题
首先这个问题牵扯太多的知识，我们尽量简化，
首先大小气泡受到的表面张力不同，我们假设气泡可以保持圆形，忽略掉表面张力的影响
其次气泡周围的水的流态是不同的，贴近气泡的一层的水肯定有个速度，这样造成水是层流还是紊流，决定了它的流动阻力处在哪个区，这个是不同的，我们假设水静止
下面，气泡受到的阻力，与速度，和气泡的形状有关，即f=g(r)v^2
气泡的重力。G=q*4/3*pai*r^3.浮力F=q' 其中q是空气的密度q'是水的密度
则受力F=G+f的时候达到平衡，这时候速度v达到恒定，也就是我们需要的结果
即（q-q'）*4/3*pai*r^3=g(r)v^2
现在，只有r对这个式子的影响还不明了，我们来分析一下
一般，流体对在其中运动的物体的影响，与其垂直于运动方向面的面积有关系。那么，这里的g(r)可以转化为一个积分问题，由于这个面试球形，所以不同的点对其进行积分的时候要乘上一个不同的三角函数，然后对三角函数进行积分。所以会有些麻烦，但是可以肯定的是，这个积分结果的形式，肯定是k*r^2
那么这个问题就很明了了（q-q'）*4/3*pai*r^3=k*r^2*v^2
简化一下得到v=√（q-q'）*4/3*pai*r/k
这样就得到了v,r的定量关系，如果需要，那个常数k也不是很难求的
只要给出一些必要的参数，比如水的温度，黏度，然后做一个球面积分运算就可以了

Answer 4

大的气泡体积大，所受浮力大所以他要比小的跑的快，你想的太复杂了

Answer 5

LZ把问题给考虑复杂了(如果简单的看气泡大浮力大气泡小浮力小，那就和在地上下落的物体一样了，重的轻的其实是相同的速度。所以不那么简单 )因为在自由下落的物体无论体积,质量大小都下落速度一样是因为在不考虑空气阻力的情况下,加速度都是G的原因,这是地球万有引力对地球上物体的特殊现象,并不是什么情况都可以类比的.考虑这个问题只需要考虑合力就可以,也就是重力和浮力的合力就可以了,希望对LZ有帮助

Answer 6

准奏！