高等数学小问题！二重积分！高分！

我的问题是，为什么是从积分区间为什么是从0到1 和x方到根号x？而不是0到x方和0到根号x，二重积分的积分区间如何确定？为什么有的时候是数字，有的时候又是字母（变量）？？？？

推荐答案 2012-11-29

二重积分关键是明确积分区域以及其边界曲线。
本题的积分区域显然就是阴影部分，边界曲线就是：y=√x 和y=x^2

∫∫x√y dσ=∫(0→1)x dx ∫(x→x^2)√y dy

上式就是完整的积分过程，右侧第一个积分区间内，积分变量为y, 一般情况下，第一个积分区间是含有第二个积分变量的函数，而第二个积分区间就是常数。（即上图情形）

积分区间就是积分变量的变化范围，你提到的左侧第积分区间为什么不是从0到x^2，左侧积分变量是x，x的变化范围显然不是从0到x^2, 右侧积分区间积分变量是y, 它的变化范围就是[x,x^2], 即阴影部分边界曲线。

另外：图中x的变化范围是[0，1], y的变化范围是[0，1], 但是此范围构成的区域并非积分区域，这个区域是个正方形，而实际的积分区域是阴影部分。
这也是经常犯的错误：

∫∫x√y dσ=∫(0→1)x dx ∫(0→1)√y dy

以上其实都是二重积分最基本的内容，看来你需要多做题了，只有多做题才能理解，单纯的这样讲解效果一般!

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第1个回答 2012-11-30

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