已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD‖BC（如图）.E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点。

Question

谢谢！！！

Answer 1

分析：（1）△ABM中，已知了AB的长，要求面积就必须求出M到AB的距离，如果连接AB的中点和M，那么这条线就是直角梯形的中位线也是三角形ABM的高，那么AB边上的高就是（AD+BE）的一半，然后根据三角形的面积公式即可得出y，x的函数关系式；
（2）根据以AB，DE为直径的圆外切，那么可得出的是AD+BC=AB+DE，那么可根据BE，AD的差和AB的长，用勾股定理来表示出DE，然后根据上面分析的等量关系得出关于x的方程，即可求出x的值，即BE的长；
（3）如果三角形ADN和BME相似，一定不相等的角是∠ADN和∠MBE，因为AD∥BC，如果两角相等，那么M与D重合，显然不合题意．因此本题分两种情况进行讨论：
①当∠ADN=∠BME时，∠DBE=∠BME，因此三角形BDE和MBE相似，可得出关于DE，BE，EM的比例关系式，即可求出x的值．
②当∠AND=∠BEM时，∠ADB=∠BEM，可根据这两个角的正切值求出x的值．
解答：解：（1）取AB的中点H，连接MH，
∵M是线段DE的中点
∴MH=12（BE+AD），MH∥AD，
∵∠DAB=90°，
∴AD⊥AB，
∴MH⊥AB，
∴S△ABM=12AB•MH得y=12x+2；（x＞0）
（2）过点D作DF⊥BC交于F，由图形可得DE=(x-4)2+22，
又∵MH=12AD+12BE=12（AD+BE），
即12（x+4）=12[2+(x-4)2+22]．
解得x=43．
即线段BE的长为43．
（3）因为如果三角形ADN和BME相似，一定不相等的角是∠ADN和∠MBE，因为AD∥BC，如果两角相等，那么M与D重合，显然不合题意，故应分两种情况进行讨论．
①当∠ADN=∠BEM时，那么∠ADB=∠BEM，
作DF⊥BE，垂足为F，
tan∠ADB=tan∠BEM．
AB：AD=DF：FE=AB：（BE-AD）．
即2：4=2：（x-4）．
解得x=8．
即BE=8．
②当∠ADB=∠BME，
而∠ADB=∠DBE，
∴∠DBE=∠BME，
∵∠E是公共角，
∴△BED∽△MEB
∵DEBE=BEEM
∴BE=2．
综上所述线段BE为8或2．

Answer 2

1)作DF⊥BC,MN⊥BC,分别交BC于F,N
AD=BF=4
∵M是DE的中点
∴FN=FN
FN=(BE-BF)/2=x/2-2
S△ABM=1/2AB*BN=1/2AB*(BF+FN)
y=1/2*2*(4+x/2-2)=x/2+2
2)令AB的中点为O,连接OM,设BE=x，则：
DE=√[(BE-AD)^2+AB^2]=√(x^2-8x+20)
2OM=AD+BE
2(2/2+DM)=x+4
DE=x+2
√(x^2-8x+20)=x+2
x=4/3
3)MN=1
∵△AND∽△BME
∴∠ADB=∠BED
△ABD∽△NME
EN/MN=AD/AB
EN=2
BE=BF+2EN=8

Answer 3

1 ABED构成一个梯形,AB为直角边,DE为斜边,M为斜边的中点,
那么从中点M做AB的垂线交于点F,则MF就是三角形ABM的高
根据梯形的特点,可以知道MF=1/2(AD+BE)=1/2(4+x)
那么三角形ABM的面积为
y=1/2*AB*MF
=1/2*2*1/2(4+x)
=2+x/2
因为点E与点B不重合,所以x>0这就是自变量的取值范围.

2 从D点垂线垂直BC交于点G,则DG=AB,则应用勾股定理可以计算出DE的长度
DE^2=DG^2+GE^=AB^2+(BE-AD)^2=4+(x-4)^2=x^2-4x+20
如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切,也就是以点M和点F为圆心
则有MF=(AB+DE)/2
1/2(4+x)=[2+√(x^2-4x+20)]/2
4+x-2=√(x^2-4x+20)
x+2=√(x^2-4x+20)
解方程x=2即为BE的长

3 如果以A,N,D为顶点的三角形与三角形BME相似,
必有∠ADN=∠BEM,而∠ADN就是∠ADB,∠BEM就是∠BED
即有∠ADB=∠BED
因为∠ADB、∠BED在0~90度之间
有tan∠ADB=tan∠BED
即AB/AD=DG/GE
2/4=2/（x-4） 得到x=8
即为所求

Answer 4

　　解：（1）取AB的中点H，连接MH，
∵M是线段DE的中点
∴MH=

12（BE+AD），MH∥AD，
∵∠DAB=90°，
∴AD⊥AB，
∴MH⊥AB，
∴S_△ABM=12AB•MH得y=12x+2；（x＞0）