相似三角形的性质及其应用

Question

已知三角形ABC。如果要作平行于BC的直线，使这条直线将三角形划分成两个部分（三角形和四边形）的面积之比为1：1，该怎么作？如果要使之划分成的两部分的面积之比为1：2，又该怎么作？

Answer 1

设平行线是DE，D在AB上，E在AC上

平行线使两个三角形相似，且面积比等于边长比的平方。
三角形和四边形的面积之比为1：1
所以两个三角形面积比等于1:(1+1)=1:2
所以边长比的平方=1/2
所以边长比=1：√2=√2/2：1
所以AD=√2/2*AB
做一个等腰直角三角形，直角边是AB，则斜边是√2AB，求出中点，即得√2/2*AB
同理可得AE=√2/2*AC

面积之比为1：2，
则边长比是1:√3=√3/3：1
作一个直角三角形，直角边是AB和√2AB，则斜边是√3AB
在三等分，得√3/3AB
则AD=√3/3*AB就有了

Answer 2

根据面积之比＝（边长之比）的平方
1.三角形划分成两个部分（三角形和四边形）的面积之比为1：1
即s1/s2=1：1
s1/s总＝1：2＝根号（a/b)
a/b=1/4,即在一边找出该边全长的1/4点，作平行于BC的直线。

2.如果要使之划分成的两部分的面积之比为1：2
即s1/s2=1：2
s1/s总＝1：3＝根号（a/b)
a/b=1/9,即在一边找出该边全长的1/9点，作平行于BC的直线。