抛物线与直线y=2x的两个交点分别为A B

Question

已知抛物线y=-x2-2mx-m2+2m+1 的顶点坐标为(-1,3),(1)求m的值
(2)抛物线与直线y=2x的两个交点分别为A,B(A在右侧),点P是抛物线上AB之间的点,点Q是直线y=2x上AB之间的点,且PQ‖y轴.求PQ长的最大值.
3.在2的条件下求当三角形OPQ为直角三角形时Q点的坐标

Answer 1

（1）y=-x²-2mx-m2+2m+1=-(x+m)²+2m+1顶点坐标为(-1,3),
∴-m=-1,m=1
抛物线解析式y=-x²-2x+2
（2）当直线y=2x的平行线在P点与抛物线相切的时候，|PQ|取得最大值
设此时切线方程为y=2x+b,与y=-x²-2x+2联立消去y得：
x²+4x+b-2=0, △=4²-4(b-2)=0,解得b=6
此时方程有两个相同的根x=-2,y=-4+6=2,所以P点坐标(-2,2)
|PQ|=b=6
(3)当三角形OPQ为直角三角形时，有两种情况：
(Ⅰ)OP⊥OQ,此时OP方程为y=-x/2,与抛物线方程y=-x²-2x+2联立消去y,得一元二次方程，舍去正解，求得P点坐标，将P点横坐标代入y=-2x得Q点坐标
(Ⅱ)OP⊥PQ,此时OP和X轴重合，P点即为抛物线与X负轴交点，解方程y=-x²-2x+2=0，同样舍去正解，求得P点坐标，将P点横坐标代入y=-2x得Q点坐标