妻子在婚姻关系存续期间内出轨，并与他人生育了私生子。这个私生子并非妻子和丈夫组成的这个家庭中的家庭成员。因为，只有妻子和丈夫共同生育的婚生子女，才是这个家庭的家庭成员。
但是，妻子出轨所生的私生子，和妻子之间却是真实存在母子关系的。根据民法典的相关规定，母子相互之间都有继承权。所以，妻子婚内出轨所生的这个私生子，对于妻子的个人财产依法享有继承权。
而你所说的家庭财产，包括夫妻共同共有的财产以及妻子个人的财产。对于夫妻共同共有的财产，妻子只享有1/2的份额，所以，如果妻子去世的话，这个私生子作为妻子的法定继承人，对夫妻共同财产中属于妻子的1/2份额以及妻子的个人财产享有继承权。
但是，这个私生子对上述财产所享有的继承权并非是全部的继承权。因为，根据民法典的规定，被继承人的配偶，父母和子女均是被继承人的第一顺序法定继承人。
也就是说，如果妻子生前没有立遗嘱，那么在妻子死亡之后，对于妻子享有份额的那部分夫妻共同财产以及妻子的个人财产，这个私生子有权和丈夫、以及妻子和丈夫共同生育的子女共同来继承。而对于家庭财产中属于丈夫所有的那1/2份额以及丈夫的个人财产，这个私生子都没有权利进行继承。
婚姻内女性出轨的私生子，也就是说女子给她丈夫带了绿帽子。那么这个私生子，能不能继承这个家庭的财产，肯定就要看这个丈夫的态度了。
首先，如果这个丈夫装作不知道，或者真的不知道，以及原谅了妻子的行为。那么这个孩子肯定就像是这对夫妻亲生的一样，没有什么差别。说实话，在现实生活中，这种情况太常见了，很多的人只是没有去做亲子鉴定罢了。当然，这样的私生子，肯定是可以继承这个家庭(生母和生母的丈夫~算养父或继父)的财产的。
其次，如果这个丈夫知道事情真相后，选择不原谅他的老婆。那么如果这个私生子尚未成年，肯定就不能继承这个家庭的财产了。他最多只能继承，属于他生母的那部分财产。
不过，在现实生活中遇到这样的情况时，这个丈夫肯定先要和他的老婆离婚，而他老婆属于婚姻中有过错的一方。那么在处理他们夫妻的共同财产时，女方就会少分或不分。而且这个丈夫还有权要求女方，返还这个孩子的抚养费，以及精神损害赔偿等。那么这样算下来，这对夫妻的共同财产，估计这个丈夫就应该获得绝大多数了。
但是，如果这个丈夫知道这个事情时，这个孩子已经长大成人，或者说已经为这个家庭做了一定的贡献。而在这种情况下，如果要分这个家庭的财产，这个孩子就应该有一份了。当然，他能分得这个家庭财产的多少份额，当事方可以协商，也可根据实际情况由法院作出裁决。不过在这种情况下，这个丈夫同样有权要求女方(或这个孩子)返还抚养费，或者在年老后，让这个孩子给付生活费等。
值得注意的是，对当事人的财产处理，除了法定继承，还有遗嘱继承，遗赠等方式。而不同的情形，处理的结果肯定就不一样。而题主这个问题描述得不是很清楚，比如没有说明除这个私生子外，还有没有其他继承人，这对夫妻是否还在世等情况，因此对这样一个问题，一般还得结合其它实际情况来处理。