如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，点E为线段PB的中点，点M在弧A

Question

如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，点E为线段PB的中点，点M在弧AB上，且OM∥AC. (1)求证：平面MOE∥平面PAC.(2)求证：平面PAC⊥平面PCB.(3)设二面角M—BP—C的大小为θ，求cos θ的值．

Answer 1

（1）见解析  （2）见解析  （3）

(1)因为点E为线段PB的中点，点O为线段AB的中点，所以OE∥PA. 因为PA?平面PAC，OE?平面PAC， 所以OE∥平面PAC. 因为OM∥AC， 因为AC?平面PAC，OM?平面PAC， 所以OM∥平面PAC. 因为OE?平面MOE，OM?平面MOE，OE∩OM＝O， 所以平面MOE∥平面PAC. (2)因为点C在以AB为直径的⊙O上， 所以∠ACB＝90°，即BC⊥AC. 因为PA⊥平面BAC，BC?平面ABC， 所以PA⊥BC. 因为AC?平面PAC，PA?平面PAC，PA∩AC＝A， 所以BC⊥平面PAC. 因为BC?平面PCB， 所以平面PAC⊥平面PCB. (3)如图，以C为原点，CA所在的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系C—xyz. 因为∠CBA＝30°，PA＝AB＝2， 所以CB＝2cos 30°＝ ，AC＝1. 延长MO交CB于点D. 因为OM∥AC， 所以MD⊥CB，MD＝1＋ ＝ ， CD＝ CB＝ . 所以P(1,0,2)，C(0,0,0)，B(0， ，0)，M . 所以 ＝(1,0,2)， ＝(0， ，0)． 设平面PCB的法向量m＝(x，y，z)． 因为 所以 ，即 令z＝1，则x＝－2，y＝0. 所以m＝(－2,0,1)． 同理可求平面PMB的一个法向量n＝(1， ，1)． 所以cos〈m，n〉＝ ＝－ . 因为二面角M—BP—C为锐二面角，所以cos θ＝ .