ç¯çå®ä¹
ä¸ä¸ªç¯æ¯ç±ä¸ä¸ªéåRå两ç§äºå
è¿ç® + å · ç»æ,è¿ä¸¤ç§è¿ç®å¯ç§°ä¸ºå æ³åä¹æ³.ä¸ä¸ªç¯å¿
é¡»éµå®ä»¥ä¸è§å¾ï¼
(R, +)å½¢æä¸ä¸ªå¯äº¤æ¢ç¾¤,å
¶åä½å
称ä½é¶å
ç´ ,è®°ä½â0â.å³ï¼
(a + b) = (b + a)
(a + b) + c = a + (b + c)
0 + a = a + 0 = a
∀a ∃(−a) 满足 a + −a = −a + a = 0
(R, ·)éµå®ï¼
1·a = a·1 = a ï¼ä»
éäºå«å¹ºç¯ï¼
(a·b)·c = a·(b·c)
ä¹æ³å
³äºå æ³æ»¡è¶³åé
å¾ï¼
a·(b + c) = (a·b) + (a·c)
(a + b)·c = (a·c) + (b·c)
注æä¹æ³ä¸ç·常常被çç¥,æ以 a·b å¯ç®å为 ab. æ¤å¤,ä¹æ³æ¯æ¯å æ³ä¼å
çè¿ç®,æ以 a + bc å
¶å®æ¯ a + (b·c).
å ç±»ç¹æ®çç¯
å«åä½å
ç¯ï¼
å¨ç¯çå®ä¹ä¸,对äºä¹æ³åä½(1)çåå¨å¹¶æ²¡æåæç¡®çè¦æ±.å¦æä¸ä¸ªç¯R对äºä¹æ³æåä½å
åå¨(称幺å
ç´ æ幺å
æåä½å
,è®°ä½â1â),åè¿ä¸ªç¯ç§°ä¸ºå«å¹ºç¯æå«åä½å
ç¯.
交æ¢ç¯ï¼
è½ç¶ç¯çå®ä¹è¦æ±å æ³å
·æ交æ¢å¾,ä½å¹¶æ²¡æè¦æ±ä¹æ³ä¹å
·æ交æ¢å¾.å¦ææ们ä¸é¢å®ä¹çä¹æ³å
·æ交æ¢æ§ï¼ab=ba,é£ä¹è¿ä¸ªç¯å°±ç§°ä¸ºäº¤æ¢ç¯.
é¤ç¯ï¼
主æ¡ç®ï¼é¤ç¯
å¦æå«åä½å
ç¯Rå»æå
³äºå æ³çåä½å
0å,对äºä¹æ³å½¢æä¸ä¸ªç¾¤ï¼ä¸è¬æ¥è¯´ç¯R对ä¹æ³å½¢æå群ï¼,é£ä¹è¿ä¸ªç¯å°±ç§°ä¸ºé¤ç¯.é¤ç¯ä¸ä¸å®æ¯äº¤æ¢ç¯,æ¯å¦åå
æ°ç¯.交æ¢çé¤ç¯å°±æ¯å.
æ é¶å åç¯ï¼
ä¸è¬æ¥è¯´ç¯R对ä¹æ³å½¢æå群,ä½R\{0}对ä¹æ³ä¸ä¸å®å½¢æå群.å 为å¦ææ两个éé¶å
ç´ çä¹ç§¯æ¯é¶,R\{0}对ä¹æ³å°±ä¸æ¯å°éç.å¦æR\{0}对ä¹æ³ä»ç¶å½¢æå群,é£ä¹è¿ä¸ªç¯å°±ç§°ä¸ºæ é¶å åç¯.
è¿ä¸ªå®ä¹å®é
ä¸çä»·äºä»»æ两个éé¶å
ç´ çä¹ç§¯éé¶.
æ´ç¯ï¼
主æ¡ç®ï¼æ´ç¯
æ´ç¯æ¯å«åä½å
çæ é¶å åç交æ¢ç¯.ä¾å¦å¤é¡¹å¼ç¯åæ´æ°ç¯.
主çæ³ç¯ï¼
主æ¡ç®ï¼ä¸»çæ³ç¯
æ¯ä¸ä¸ªçæ³é½æ¯ä¸»çæ³çæ´ç¯ç§°ä¸ºä¸»çæ³ç¯.
å¯ä¸å解ç¯ï¼
主æ¡ç®ï¼å¯ä¸å解ç¯
å¦æä¸ä¸ªæ´ç¯Rä¸æ¯ä¸ä¸ªéé¶éå¯éå
ç´ é½è½å¯ä¸å解,称Ræ¯å¯ä¸å解ç¯.
åç¯ï¼
主æ¡ç®ï¼åç¯
ç´ ç¯ï¼
主æ¡ç®ï¼ç´ ç¯
ä¾åï¼
æ´æ°ç¯æ¯ä¸ä¸ªå
¸åç交æ¢ä¸å«åä½ç¯.
æçæ°ç¯,å®æ°å,å¤æ°åé½æ¯äº¤æ¢çå«åä½å
ç¯.
ææ项çç³»æ°ææä¸ä¸ªç¯Açå¤é¡¹å¼å
¨ä½A[X]æ¯ä¸ä¸ªç¯.称为Aä¸çå¤é¡¹å¼ç¯.
n为æ£æ´æ°,æænÃnçå®æ°ç©éµææä¸ä¸ªç¯.
ç¯ççæ³
主æ¡ç®ï¼çæ³
å³çæ³ï¼ 令Ræ¯ç¯, é£ä¹ç¯Rä¸å
¶å æ³ + ææé¿è´å°ç¾¤.令Iæ¯Rçåé.é£ä¹I称为Rçå³çæ³ å¦æ以ä¸æ¡ä»¶æç«ï¼
(I, +) ææ (R, +) çå群.
对äºä»»æ å æ .
å·¦çæ³ï¼ 类似å°,I称为Rçå·¦çæ³å¦æ以ä¸æ¡ä»¶æç«ï¼
(I, +) ææ (R, +) çå群.
对äºä»»æ å æ .
å¦æIæ¢æ¯å³çæ³,ä¹æ¯å·¦çæ³,é£ä¹Iå°±å«ååè¾¹çæ³,ç®ç§°çæ³.
ä¾åï¼
æ´æ°ç¯ççæ³ï¼æ´æ°ç¯Zåªæå½¢å¦çnZçæ³.
é¤ç¯ççæ³ï¼é¤ç¯ä¸ç(å·¦æå³)çæ³åªæå¹³å¡(å·¦æå³)çæ³.
ä¸è¬æ§è´¨ï¼
å®ç1 å¨ç¯ä¸,(å·¦æå³)çæ³çåä»ç¶æ¯(å·¦æå³)çæ³.
å®ç2 å¨ç¯ä¸,(å·¦æå³)çæ³ç交ä»ç¶æ¯(å·¦æå³)çæ³.
对äºRç两个çæ³A,B,è®°.æå®ä¹ä¸é¾è¯æä¸é¢çåºæ¬æ§è´¨ï¼
(1) å¦æAæ¯Rçå·¦çæ³,åABæ¯Rçå·¦çæ³ï¼
(2) å¦æBæ¯Rçå³çæ³,åABæ¯Rçå³çæ³ï¼
(3) å¦æAæ¯Rçå·¦çæ³,Bæ¯Rçå³çæ³,åABæ¯Rçåè¾¹çæ³.
å¦æAç¯Rçä¸ä¸ªé空åé,令=RA+AR+RAR+ZA,åæ¯ç¯Rççæ³,è¿ä¸ªçæ³ç§°ä¸ºRä¸ç±Açæççæ³, A称为çæå
é.å群ççæå群类似,æ¯Rä¸ææå
å«Aççæ³ç交,å æ¤æ¯Rä¸å
å«Açæå°çæ³.ä¸é¢æ¯çæçæ³çå ç§ç¹æ®æ
åµï¼
(1) å½æ¯äº¤æ¢ç¯æ¶,=RA+ZA
(2) å½æ¯æåä½å
1çç¯æ¶,=RAR
(3) å½æ¯æåä½å
交æ¢ç¯æ¶,=RA
主çæ³ï¼å¦ææ¯ä¸ªnå
éå,åè®°,称æ¯æéçæçæ³.ç¹å«å½æ¯åå
ç´ éæ¶,称为ç¯Rç主çæ³.注æä½ä¸ºçæå
ä¸è¬ä¸æ¯å¯ä¸ç,å¦.çä¸è¬å½¢å¼æ¯ï¼
æ§è´¨ï¼
å ç±»ç¹æ®ç¯ä¸ç主çæ³ï¼
(1) å¦ææ¯äº¤æ¢ç¯,å
(2) å¦ææ¯æåä½å
çç¯,å
(3) å¦ææ¯æåä½å
ç交æ¢ç¯,å
ççæ³ï¼ å¦æIæ¯Rççåé,Iå°±å«åRçççæ³.
æ大çæ³ï¼ ä¸ä¸ªççæ³I被称为Rçæ大çæ³,å¦æ没æå
¶ä»ççæ³J,使å¾Iæ¯Jççåé.
æ大左çæ³ï¼è®¾ I æ¯ç¯Rçå·¦çæ³,å¦æ并ä¸å¨ I ä¸Rä¹é´ä¸åå¨ççå·¦çæ³,å称 I æ¯ç¯Rçä¸ä¸ªæ大左çæ³.æ大左çæ³ä¸æ大çæ³ä¹é´æå¦ä¸å
³ç³»ï¼
(1)å¦æ I æ¯æ大左çæ³,åæ¯åè¾¹çæ³,å I æ¯æ大çæ³.
(2)æ大çæ³æªå¿
æ¯æ大左çæ³.
é¤ç¯çé¶çæ³æ¯æ大çæ³.å¨æåä½å
çç¯ä¸,å¦æé¶çæ³æ¯å
¶æ大çæ³,称è¿ç§ç¯æ¯åç¯.é¤ç¯æ¯åç¯,åä¹æ¯åç¯.åä¹åä¸å¯¹,å³åå¨ä¸æ¯é¤ç¯çåç¯.
å®ç1 å¨æ´æ°ç¯Zä¸,ç±pçæç主çæ³æ¯æ大çæ³çå
åå¿
è¦æ¡ä»¶æ¯ï¼pæ¯ç´ æ°.
å®ç2 设Ræ¯æåä½å
1ç交æ¢ç¯.çæ³ I æ¯Rçæ大çæ³çå
åä¸å¿
è¦æ¡ä»¶æ¯ï¼åç¯R / Iæ¯å.
å®ç3 设 I æ¯ç¯Rçå·¦çæ³,å I æ¯Rçæ大左çæ³çå
åå¿
è¦æ¡ä»¶æ¯å¯¹Rçä»»æä¸ä¸ªä¸å«å¨ I ä¸çå·¦çæ³Jé½æI + J = R.
ç´ çæ³ï¼ççæ³I被称为Rçç´ çæ³,å¦æ对äºRçä»»æçæ³A,B, å¯æ¨åº æ .
ç´ ç¯ï¼å¦æç¯Rçé¶çæ³æ¯ç´ çæ³,å称Ræ¯ç´ ç¯(æè´¨ç¯).æ é¶å åç¯æ¯ç´ ç¯.å¨äº¤æ¢ç¯Rä¸,ççæ³ I æ¯ç´ çæ³çå
åä¸å¿
è¦æ¡ä»¶æ¯ï¼R / Iæ¯ç´ ç¯.
åç´ çæ³ï¼è®¾ I æ¯ç¯Rççæ³,并ä¸.å¦æ对任æçæ³P,ç±,å¯å¾,å称 I æ¯ç¯Rçåç´ çæ³.
æ¾ç¶,åç´ çæ³æ¯ä¸ç±»æ¯ç´ çæ³ç¸å¯¹è¾å¼±æ¡ä»¶ççæ³,å ä¸ºç´ çæ³æ¯åç´ çæ³,ä½åç´ çæ³æªå¿
æ¯ç´ çæ³.
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