正弦和余弦的诱导公式怎么推导的

Question

如题所述

Answer 1

诱导公式（口诀:奇变偶不变，符号看象限。）
sin（－α）＝－sinα
cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα
sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα
sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα
sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα
sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα
sin（3π/2－α）＝－cosα cos（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2－α）＝cotα cot（3π/2－α）＝tanα
sin（3π/2＋α）＝－cosα cos（3π/2＋α）＝sinα tan（3π/2＋α）＝－cotα cot（3π/2＋α）＝－tanα
sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα
sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα (其中k∈Z)
两角和与差的三角函数公式 万能公式 sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ
tan（α＋β）＝(tanα＋tanβ)/(1－tanα ·tanβ)
tanα－tanβ tan（α－β）＝—————— 1＋tanα ·tanβ 2tan(α/2) sinα＝—————— 1＋tan2(α/2)
1－tan^2(α/2) cosα＝—————— 1＋tan^2(α/2)
2tan(α/2) tanα＝—————— 1－tan^2(α/2)

半角的正弦、余弦和正切公式 三角函数的降幂公式
二倍角的正弦、余弦和正切公式 三倍角的正弦、余弦和正切公式 sin2α＝2sinαcosα
cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α
2tanα tan2α＝—————
1－tan^2α
sin3α＝3sinα－4sin^3α
cos3α＝4cos^3α－3cosα
3tanα－tan^3α tan3α＝—————— 1－3tan^2α

Answer 2

奇变偶不变，符号看象限。
sin(pi/2-a)=cosa,
sin(pi/2+a)=-cosa,
sin(pi-a)=sina,
sin(pi+a)=-sina,
sin(3pi/2-a)=-cosa,
sin(3pi/2+a)=-cosa,
sin(2pi-a)=-sina,
sin(2pi+a)=sina,

......(余弦略)

以sin(3pi/2-a)为例,
假设a是第一象限角,3pi/2-a必然是第三象限角,sin值在第三象限为负值,这叫"符号看象限";
而3pi/2是pi/2的奇数倍,所以sin最后变为cos,这叫"奇变偶不变"。

所以sin(3pi/2-a)=-cosa

证明也很简单,想象一个单位圆,半径为1,圆心为O,圆上第一象限角a的顶点坐标为(x,y),其中x,y均为正值,则第三象限角3pi/2-a的顶点坐标为(-y,-x),
则sin(3pi/2-a)=-x/1=-x,
而cosa=x/1=x,
故sin(3pi/2-a)=-cosa本回答被提问者采纳

Answer 3

根据正余弦函数的对称性和周期性。