实对称矩阵同一个特征值不同的特征向量什么时候正交

Question

实对称矩阵中相同特征值的不同特征向量什么时候是正交的？书上有的题目直接用相同特征值的不同特征向量正交来解题，很是不解啊，求教大神！... 实对称矩阵中相同特征值的不同特征向量什么时候是正交的？书上有的题目直接用相同特征值的不同特征向量正交来解题，很是不解啊，求教大神！ 展开

Answer 1

n*n的实对称矩阵一定存在 n个相互正交的特征向量，因为实对称矩阵可以特征值分解为 QDQ‘，其中 Q为正交矩阵，D为对角阵（对角线元素为特征值）。

这不是说相同特征值的不同的特征向量一定相互正交，而是说对于相同特征值也一定存在一组相互正交的特征向量。假设对于某个特征值（重根），你求得了它的一组不相互正交的特征向量，那么可以通过正交化把他们变成一组相互正交的特征向量。

证明如下：

设λ1,λ2是两个A的不同特征值，α1,α2分别是其对应的特征向量，有A * α1 = λ1 * α1,A * α2 = λ2 *α2分别取转置。

分别两边右乘α2和α1，得α1' * A' * α2 =λ2 * α1' * α2,α2' * A' * α1 =λ1 * α2' * α1 

对应相减并注意到α2' * A' * α1=（α2' * A' * α1)'= α1' * A' * α2 

所以 (λ1 - λ2) α1' * α2 = α1' * A' * α2 - α2' * A' * α1 = α1' * A' * α2 - α1' * A' * α2 =0

而 λ1 - λ2≠ 0

因此 α1' * α2 = 0

即 α1与α2 正交。

扩展资料：

实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。

n阶实对称矩阵A必可对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。若λ0具有k重特征值　必有k个线性无关的特征向量，或者说必有秩r(λ0E-A)=n-k，其中E为单位矩阵。

把一个m×n矩阵的行，列互换得到的n×m矩阵,称为A的转置矩阵,记为A'或AT。 

矩阵转置的运算律(即性质)：

1.(A')'=A

2.(A+B)'=A'+B'

3.(kA)'=kA'(k为实数)

4.(AB)'=B'A'

若矩阵A满足条件A=A'，则称A为对称矩阵。由定义知对称矩阵一定是方阵，而且位于主对角线对称位置上的元素必对应相等，即aij=aji对任意i,j都成立。

参考资料来源：百度百科——实对称矩阵

Answer 2

n*n的
实对称矩阵一定存在
n个相互正交的特征向量，因为实对称矩阵可以特征值分解为
QDQ‘，其中
Q为正交矩阵，D为对角阵（对角线元素为特征值）。
这不是说相同特征值的不同的特征向量一定相互正交，而是说对于相同特征值也一定存在一组相互正交的特征向量。假设对于某个特征值（重根），你求得了它的一组不相互正交的特征向量，那么可以通过正交化把他们变成一组相互正交的特征向量。