1.由y=√x和y=x^2解得交点(0,0),(1,1)
由平面图形面积公式得
S=∫dA=∫(√x-x^2 )dx=[(2/3x^(3/2)-1/3x^3 )](x=1)=1/3(其中积分号表示定积分,积分区域为[0,1])
注:平面曲边形的面积求法:设曲边形由两条连续曲线y=f1(x),y=f2(x)(f2(x)>=f1(x)),x∈[a,b])及直线x=a,x=b所围,则求所围面积的方法为:在[a,b]上任取子区间[x,x+dx],与这个小区间相应的窄曲边形的面积△A近似等于高为f2(x)-f1(x),底为dx的窄矩形面积,即面元为dA=[f2(x)-f1(x)]dx,作定积分可得面积公式A=∫[f2(x)-f1(x)]dx(其中积分区域为[a,b])
2.曲线y=x^2与直线x=0,x=1所围成的图形绕x轴旋转一周生成的旋转体的体积为
V1=∫πx^4dx=πx^5/5(x=1)=π/5 (其中积分号表示定积分,积分区间为[0,1])
曲线y=√x与直线x=0,x=1所围成的图形绕x轴旋转一周生成的旋转体的体积为
V2=∫πxdx=πx^2/2(x=1)=π/2 (其中积分号表示定积分,积分区间为[0,1])
所以曲线y=x^2,x=y^2所围成的平面图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积为曲线y=√x与直线x=0,x=1所围成的图形绕x轴旋转一周生成的旋转体的体积与曲线y=x^2与直线x=0,x=1所围成的图形绕x轴旋转一周生成的旋转体的体积之差,即
V=V2-V1=π/2-π/5=3π/10
注:旋转体的体积的求法:设曲线y=f(x)与直线x=a,x=b所围成的图形绕x轴旋转一周生成旋转体,在闭区间[a,b]上任取一子区间[x,x+dx],由于体积是由平面图形旋转一周生成的,所以用底面积为A(x)=πy^2=πf^2(x),高为dx的圆柱体的体积近似代替小旋转体的体积得体积微分dV=πy^2dx=πf^2(x)dx,在[a,b]上作定积分,得旋转体的体积为 V=∫dV=∫πf^2(x)dx (其中积分区间为[a,b])
PS:解此类题目一般用微元法即可,即就某一无限小区间仔细分析
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