就这个上下文来看俺猜应该指的是投射空间（Projective Space）？就是(R^4-{0})/~，其中~的等价关系定义成向量A~向量B当且仅当它们相差一个标量（i.e. A=c*B for c\in R)
简单来说，n维向量的齐次空间是n+1维的。
在OpenVG 这种二维矢量图形加速接口中，规定二维齐次空间坐标系就是一个三维空间。把N维映射到N+1维就是为了能够在高纬度做变换然后在映射到低纬度空间上。
比如，在OpenVG中，要变换一个二维图形，比如是个二维的字母，首先把他变换到三维空间，然后做各种旋转或者拉伸，然后在映射到二维空间上，从而使得二维图像也可以有一些简单的三维特效。
最简单的想法是：在有点和向量混合的情况下，给定一个（x, y, z)，我们不知道这个是向量还是点，所以引入齐次坐标（所谓齐次坐标就是用N+1表示N维量），最后一维用1就是点，0就是向量。
在<<Focus on 3D models>>中，四元数主要是用来做rotation的。用四元数在此书中说有三点好处：
a, 能解决Gimbal Lock;
b, 能平滑的进行插值；
c，处理旋转比矩阵需要的空间小（旋转还可以用矩阵来表示，需要9个slot）；
注意：四元数只有在是unit length的时候才能表示旋转。
在3D中我们常用4x4的矩阵，来配合3维空间的点的缩放、旋转、平移运算。因此是3维运算，但是用了4x4，所以我们称之为Homogeneous Matrix，更精确的说是Homogeneous Transformation Matrix。
有网友总结的齐次坐标的如下，个人觉得很容易理解，为防止链接失效，原文拷贝如下(下划线所示）：
原文地址：
http://blog.csdn.net/rabbitguiming/archive/2009/03/06/3964140.aspx“4D向量是由3D坐标(x,y,z)和齐次坐标w组成，写作(x,y,z,w)。
在3D世界中为什么需要3D的齐次坐标呢？简单地说明一下，在一维空间中的一条线段上取一点x，然后我们想转移x的位置，那我们应该是x'=x+k，但我们能使用一维的矩阵来表示这变换吗？不能，因为此时一维的矩阵只能让x点伸缩。但如果变成了一维的齐次空间[k 1]就很容易地做到。同样地，在二维空间中，某一图形如果不使用二维的齐次坐标，则只能旋转和伸缩，确不能平移。
因此，我们在3D坐标中使用齐次坐标，是为了物体在矩阵变换中，除了伸缩旋转，还能够平移，如下运算：
既然了解了使用齐次坐标的意义，我们下一步就要了解一下齐次坐标w是什么意义。设w=1，此时相当于我们把3D的坐标平移搬去了w=1的平面上，4D空间的点投影到w=1平面上，齐次坐标映射的3D坐标是（x/w,y/w,z/w），也就是（x,y,z）。（x,y,z）在齐次空间中有无数多个点与之对应。所有点的形式是（kx,ky,kz,k），其轨迹是通过齐次空间原点的“直线”（其实每个点相当于3D的坐标世界）。
当w=0时，有很大的意义，可解释为无穷远的“点”，其意义是描述方向。这也是平移变换的开关，当w=0时，
此时不能平移变换了。这个现象是非常有用的，因为有些向量代表“位置”，应当平移，而有些向量代表“方向”，如表面的法向量，不应该平移。从几何意义上说，能将第一类数据当作"点"，第二类数据当作"向量"。可以通过设置w的值来控制向量的意义。”
3D中有很多地方都会提到四元数（Quaternion），其实是一个4D形式的向量。在《DirectX 9.0 3D游戏开发必成基础》(清华大学出版社)，第一部分的“基本变换”一节中，有这么提到
“前面我们提到讲某一点的坐标或某一向量的各分量放入一个1x4的行向量v中。但是我们所关心的点和向量都是3D的！为什么我们要使用1x4的行向量？为了使向量-矩阵乘积有意义，我们必须将3D的点或向量扩展为4D行向量，因为一个1x3的行向量和一个4x4矩阵是无法定义乘法运算的。”
接下来的一段这么说，
“那么我们应该如何使用第4个分量（用w表示）？将点放入一个1x4的行向量时，我们将w分量设为1。这能够保证点的平移变换正确进行。因为向量不含位置信息，所以没有对向量定义平移变换，任何企图对向量实施平移变换的运算只能产生一个毫无意义的向量。为了防止对向量进行平移变换，当我们将1x3向量置入1x4行向量时，将w分量置为0。”
上面的一段说明了最后一个分量什么时候该用0。
后面更有这么一段文字说明，很有启发性，
“当我们将点（x，y，z）写作（x，y，z，1）的形式时，从技术角度，我们实际上在4D空间中用一个4D平面（w=1）来描述3D空间。（注意：4D空间中的平面是3D的，就像3D中的平面式一个2D空间一样）。所以，当我们将w设为某个值时，我们便偏离了平面w=1。为了重新映射回该平面（对于我们熟悉的3D空间），我们只需将齐次向量的每个分量除以w。”
对于上面的4D到3D的所谓映射，正是齐次坐标的功力所在。
在<<Character Animation With Direct3D>>中, P117对四元数的解释相当的容易理解和实用
In the example of rotating a-radians around Axis A (x, y, z), the quaternion for
this would be:
q = cox(a/2), x•sin(a/2), y•sin(a/2), z*sin(a/2)
所谓齐次坐标表示法就是用n+1维向量表示一个n维向量。
这个概念是射影几何需要解决问题的时候引出来的，在射影学里，如下定义：
为了能用代数方法来处理射影(或扩大)空间的几何问题，需要引进齐次坐标（有时还引进射影坐标）。 仍从欧氏（或仿射）平面开始。设在平面上已经建立了以O为原点的直角（或仿射）坐标系，(x，y)为一点p 的坐标。令则比值x0:x1:x2完全确定p 的位置，(x0，x1，x2)就叫做p的齐次（笛氏）坐标。原点的齐次坐标显然可以写成(1，0，0)。设p不是原点O，则x1，x2不同时等于零；再令x1，x2固定，而令x0向0接近，则p点沿一条经过O而斜率为x2:x1的直线l向远方移动。设表示扩大直线l上的无穷远点，则可以认为，当x0趋于O 时，p趋于。因此，可以把(0，x1，x2)作为的齐次坐标，特殊地，(0，1，0)和(0，0，1)依次是x轴和y 轴上无穷远点的齐次坐标。这样，每一组不同时为零的三个数x0，x1，x2 都是扩大平面上一点的齐次坐标，而若ρ 为不等于零的数，则(ρx0，ρx1，ρx2)和(x0，x1，x2)代表同一点，下面引进记号(x)=(x0，x1，x2)，ρ(x)=(ρx0，ρx1，ρx2)。
设 (u1，u2不都是0)是欧氏（或仿射）平面上一条直线的方程。在用齐次坐标表示时，它可以写成
， (1)
这也就是扩大直线的齐次方程，这直线上的无穷远点是(0，u2，-u1)。扩大平面上的无穷远直线方程显然可以写成x0=0。这样，每一个齐次线性方程都代表扩大平面上一条直线。由于比值u0:u1:u2完全确定直线，(u)=(u0，u1，u2)就叫做（齐次）线坐标。为了区别两种齐次坐标，上面引进的(x)＝(x0，x1，x2)就叫做（齐次）点坐标。方程(1)叫做点(x)和线(u)的关联条件或接合（即(x)在(u)上，或(u)经过(x)）条件。 当不区别无穷远元素和非无穷远元素，使扩大平面成为射影平面时，(x)和(u)就依次成为射影平面上的齐次点坐标和线坐标，它们都可以看作射影坐标的特款。与此类似，可以得到扩大或射影直线上的点坐标(x)=(x0，x1)以及扩大或射影空间的点坐标(x)=(x0，x1，x2，x3)和面坐标(u)＝(u0，u1，u2，u3)。在扩大或射影空间中，点(x)和面(u)的关联条件是 下面，除非特别指明，所讨论的空间，就是三维射影空间，所讨论的点、线、面都是射影空间里的点，射影直线和射影平面。在射影空间，指定一个平面x0=0作为无穷远面，就得到扩大空间（见射影坐标）。
取三维射影空间为例，此时坐标形如 。无穷远平面通常被定为子集 ，在此平面之外总是可以同除以 ，因而无穷远平面的补集透过映射 等同于我们熟悉的三维仿射空间。
若我们试图考虑平面 与 的交集，则显然可先后导出 与 ，这告诉我们交集落在无穷远平面，其坐标形如 ，它事实上是连接 与 的直线。
也说明了我们在3D中用4D运算的时候，对点的变换需要用w=1，得到的点才是仿射空间中的坐标。