构造函数求解集

Question

我想知道为什么要构造这样一个函数，看了好久还是看不出来，到底是为什么呢

Answer 1

x∈R
f'(x)>f(x)-1, f'(x)-f(x)+1>0
e^(-x)·f'(x)+(e^(-x))'·f(x)+e^(-x)>0
(e^(-x)·f(x))'-(e^(-x))'>0
(e^(-x)·f(x)-e^(-x))'>0 注:这里用到简单的微分方程知识
设F(x)=e^(-x)·f(x)-e^(-x)-2017/e ,x∈R
不等式f(x)>2017·e^(x-1)+1 化为
e^(-x)·f(x)-e^(-x)-2017/e>0
即 F(x)>0
因 F'(x)=(e^(-x)·f(x)-e^(-x))'>0
F(1)=e^(-1)·2018-e^(-1)-2017/e=0
得F(x)是(-∞,+∞)上的增函数,且F(1)=0
F(x)>0 解得 x>1
所以 原不等式的解集是{x|x>1}