在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=a（x+1）2+c（a＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=a（x+1）2+c（a＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为M，若直线MC的函数表达式为y=kx-3，与x轴的交点为N，且cos∠BCO=31010．（1）求此抛物线的函数表达式；（2）在此抛物线上是否存在异于点C的点P，使以N、P、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）过点A作x轴的垂线，交直线MC于点Q．若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？
解答：
解：（1）∵直线MC的函数表达式y=kx-3．
∴点C（0，-3）
∴cos∠BCO=
＝
=
∴可设|OC|=3t（t＞0），|BC|=
t
则由勾股定理，得|OB|=t
而|OC|=3t=3，
∴t=1
∴|OB|=1，
∴点B（1，0）
∵点B（1，0）C（0，-3）在抛物线上
∴
，
解得
，
∴抛物线的函数表达式为y=（x+1）2-4=x2+2x-3．
（2）假设在抛物线上存在异于点C的点P，使以N，P，C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形，
①若PN为另一条直角边
∵点M（-1，-4）在直线MC上，
∴-4=-k-3，即k=1
∴直线MC的函数表达式为y=x-3
易得直线MC与x轴的交点N的坐标为N（3，0）
∵|OC|=|ON|
∴∠CNO=45°
∴在y轴上取点D（0，3），
连接ND交抛物线于点P
∵|ON|=|OD|
∴∠DNO=45°
设直线ND的函数表达式为y=mx+n
由
得
∴直线ND的函数表达式为y=-x+3
设点P（x，-x+3），代入抛物线的函数表达式，
得-x+3=x2+2x-3，
即x2+3x-6=0
解得x1=
，x2=
∴y1=
，y2=
∴满足条件的点为P1（
，
），p2（
，
解：（1）∵直线MC的函数表达式y=kx-3．∴点C（0，-3）
∴cos∠BCO=
| |OC| |
| |BC| |
3
| ||
| 10 |
| 3 | ||
|
∴可设|OC|=3t（t＞0），|BC|=
| 10 |
则由勾股定理，得|OB|=t
而|OC|=3t=3，
∴t=1
∴|OB|=1，
∴点B（1，0）
∵点B（1，0）C（0，-3）在抛物线上
∴
|
解得
|
∴抛物线的函数表达式为y=（x+1）2-4=x2+2x-3．
（2）假设在抛物线上存在异于点C的点P，使以N，P，C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形，
①若PN为另一条直角边
∵点M（-1，-4）在直线MC上，
∴-4=-k-3，即k=1
∴直线MC的函数表达式为y=x-3
易得直线MC与x轴的交点N的坐标为N（3，0）
∵|OC|=|ON|
∴∠CNO=45°
∴在y轴上取点D（0，3），
连接ND交抛物线于点P
∵|ON|=|OD|
∴∠DNO=45°
设直线ND的函数表达式为y=mx+n
由
|
得
|
∴直线ND的函数表达式为y=-x+3
设点P（x，-x+3），代入抛物线的函数表达式，
得-x+3=x2+2x-3，
即x2+3x-6=0
解得x1=
?3+
| ||
| 2 |
?3?
| ||
| 2 |
∴y1=
9?
| ||
| 2 |
9+
| ||
| 2 |
∴满足条件的点为P1（
?3+
| ||
| 2 |
9?
| ||
| 2 |
?3?
| ||
| 2 |
9+
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