怎么证明可不道格拉斯效用函数相加等于1

Question

如题所述

Answer 1

u=u(x1,x2)=(x1)^a(x2)^b
不妨假设：商品x1和x2的价格为p1,p2,收入为y。题目中所求的是马歇尔需求函数。需求函数上每一点的组合（xi，pi）都是效用最大化的点的组合。因此，可以写出如下数学规划：
Max：u=(x1)^a(x2)^b
s.t.：x1p1+x2p2≤y
构造拉格朗日函数，解这个规划
F=(x1)^a(x2)^b-t(x1p1+x2p2-y),t为拉格朗日乘子
dF/dx1=0：ax1^(a-1)x2^b-tp1=0(1)
dF/dx2=0：bx1^ax2^(b-1)-tp2=0(2)
dF/dt=0：x1p1+x2p2-y=0.(3)
由(1)(2)得到：bx1p1=ax2p2..(4)
对于(4)变形：x2p2=(bx1p1)/a，带入(3)式：x1p1+(bx1p1)/a=y，得到需求函数：x1=ay/p1
同理：x2=by/p2。
对需求函数变形就可以看到参数a，b的含义：(x1p1)/y=a，由于a∈(0,1),所以参数a，b的含义是对商品x1，x2的支出占总收入的份额。