微积分 数学分析

Question

本人是数学专业生，今日发现国内教材太烂，看到菲赫金哥尔茨的微积分学教程和数学分析原理，很喜欢，感觉两本书个别部分大同小异，而微分教程比数分原理出名，是不是数分在微分教程上改的，我应该看哪本书，求看过的人回答，别人说的微分注重定理没有证明，可是菲赫金哥尔茨的这本很全，不知如何选
拜托你们不要跟我说我好高骛远什么的，我很喜欢数学这门科学，大学志愿第一个全是数学，以后想搞研究，基础很重要，选一本好书可以事半功倍，国内教材跟我讲定理，菲氏教材跟我讲问题本质与根源，没有从洋媚外，实事求是

Answer 1

国内的数学分析教材大部分都比较垃圾，都是你抄我我抄你，像华师大，复旦欧阳光中之类的赶紧扔了，只会误人子弟，恐怕也就常庚哲史济怀的或张筑生的适合作教材，徐森林的只能作参考书，具体原因参考我在豆瓣那里给的书评，还有陈天权的，听说观点很高，而且需要点高数基础才能看。菲赫的《微积分教程》讲的很详尽，甚至有人说它古典啰嗦，支线过多，这本书的名字是微积分教程，但讲的就是数学分析的高度，至于他的《数学分析原理》是其缩减版。你能看出来国内教材不好，说明你还是比较有眼光的，卓里奇的、Herbert Amann的这种难读且深刻的书不知你能否读懂，Amann的分析三卷是大部头，布尔巴基风格的，在德国那边很有名的教材，从自然数开始的，陶哲轩实分析是我见过的最专业的分析教材，也是从自然数讲起，这本书还有勘误，也有英文版，也可以读Apostol的或Rudin的，Apostol的好读一点，还有Dieudonne的分析大部头，是很难读的，我欣赏你的态度，学就要学好。另外，弱弱的说一句，说中文教材差绝不是带着有色眼镜瞎起哄，因为中国教授写书目的不纯，甚至很多内容都不是自己完成的，让自己手下的研究生等人做的，抄袭现象也很严重，有些教授也是真心想写书，但没有足够的条件，比如时间精力等，导致写出来的书也有缺憾，这都是中国教育的弊端啊。当然也有少数很不错的，像陈天权的，就可以与国外的好教材媲美。

Answer 2

发现国内烂是因为你先看了国内教材中比较一般的。如果你先看了国外的，就会发现国内教材也有非常不错的。脚踏实地，入门选薄一点的吧，大同小异，基础打牢就行了，与其在基础科目上抠那么细，不如尽快进入前沿。追问

我的教材是华东师范的，参考书有刘玉莲那本和复旦的，芦丁的，卓里奇的都看过，比较喜欢看书特别是数学书，我所知道国内好的数分就是我说的那些吧，国外也是上面几本，国内的确实差一个层次

追答

国内真正好的你可以看：经典观点 常庚哲和史济怀的；近代观点 陈天权的 或者 北师大郇中丹的视频，都很好，不逊色于你说的那几本。卓里奇长期是清华基地班的教材，陈天权也用过它，别以为国内的老师们看得比你少，只不过你带着有色眼镜而已。

再比如南京大学的梅加强的也非常有特色。rudin和zorich当然都是好书，但国内好的教材甚至一些没出版的讲义也都很出色，各有特色，比如武大以前的中法基地班的讲义。

追问

你挺用心的，百度文库上有个数学教材推荐，上面的数分书我大部分都看过，正如我所说，我喜欢数学，不用怀疑我是否看过，我一天到晚都泡在图书馆里，发现菲氏的书确实很好，常常引发我思考，不讲那么多，我想回到问题上面，谢谢，我喜欢菲氏是因为第一次看就能给我引发思考的欲望，数学思考很重要

Answer 3

一，区分概念
1、微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分（Differentiation）、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。
2、数学分析又称高级微积分，分析学中最古老、最基本的分支。一般指以微积分学和无穷级数一般理论为主要内容，并包括它们的理论基础（实数、函数和极限的基本理论）的一个较为完整的数学学科。它也是大学数学专业的一门基础课程。数学中的分析分支是专门研究实数与复数及其函数的数学分支。它的发展由微积分开始，并扩展到函数的连续性、可微分及可积分等各种特性。这些特性，有助我们应用在对物理世界的研究，研究及发现自然界的规律。
二，运用情况

1、微积分：
（1）运动中速度与距离的互求问题
已知物体移动的距离表为以时间为变量的函数，求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，微积分基础-割圆术已知物体的加速度表为以时间为变量的函数公式，求速度和距离。这类问题是研究运动时直接出现的，困难在于，所研究的速度和加速度是每时每刻都在变化的。比如，计算物体在某时刻的瞬时速度，就不能像计算平均速度那样，用移动的距离去除运动的时间，因为在给定的瞬间，物体移动的距离和所用的时间是，而是无意义的。但是，根据物理，每个运动的物体在它运动的每一时刻必有速度，这也是无疑的。已知速度公式求移动距离的问题，也遇到同样的困难。因为速度每时每刻都在变化，所以不能用运动的时间乘任意时刻的速度，来得到物体移动的距离。
（2）求曲线的切线问题
这个问题本身是纯几何的，而且对于科学应用有巨大的重要性。由于研究天文的需要，光学是十七世纪的一门较重要的科学研究，透镜的设计者要研究光线通过透镜的通道，必须知道光线入射使用到微积分方法的割圆术透镜的角度以便应用反射定律，这里重要的是光线与曲线的法线间的夹角，而法线是垂直于切线的，所以总是就在于求出法线或切线；另一个涉及到曲线的切线的科学问题出现于运动的研究中，求运动物体在它的轨迹上任一点上的运动方向，即轨迹的切线方向。
（3）求长度、面积、体积、与重心问题等
这些问题包括，求曲线的长度（如行星在已知时期移动的距离），曲线围成的面积，曲面围成的体积，物体的重心，一个相当大的物体（如行星）作用于另一物体上的引力。实际上，关于计算椭圆的长度的问题，就难住数学家们，以致有一段时期数学家们对这个问题的进一步工作失败了，直到下一世纪才得到新的结果。又如求面积问题，早古希腊时期人们就用穷竭法求出了一些面积和体积，如求抛物线在区间上与轴和直线所围成的面积 ，他们就采用了穷竭法。当分割的份数越来越多时，所求得的结果就越来越接近所求的面积的精确值。但是，应用穷竭法，必须添上许多技艺，并且缺乏一般性，常常得不到数字解。当阿基米德的工作在欧洲闻名时，求长度、面积、体积和重心的兴趣复活了。穷竭法先是逐渐地被修改，后来由于微积分的创立而根本地修改了。
（4）求最大值和最小值问题（二次函数，属于微积分的一类）
例如炮弹在炮筒里射出，它运行的水平距离，即射程，依赖于炮筒对地面的倾斜角，即发射角。一个“实际”的问题是：求能够射出最大射程的发射角。十七世纪初期，Galileo断定（在真空中）发射角是时达到最大射程；他还得出炮弹从各个不同角度发射后所达到的不同的最大高度。研究行星的运动也涉及到最大值和最小值的问题。
2、数学分析
数学分析的主要内容是微积分学，微积分学的理论基础是极限理论，极限理论的理论基础是实数理论。实数系最重要的特征是连续性，有了实数的连续性，才能讨论极限，连续，微分和积分。正是在讨论函数的各种极限运算的合法性的过程中，人们逐渐建立起了严密的数学分析理论体系。