由变限积分的求导规则得出最后结果为-2x^2*y^2e（-x^2*y^2）。计算过程如下：
fx=y*e（-x^2*y^2）;fxx=-2y^3*x*e（-x^2*y^2）。
fxy=e（-x^2*y^2）-2x^2*y^2e（-x^2*y^2）。
fy=x*e（-x^2*y^2）；fyy=-2x^3*y^2e（-x^2*y^2）。
原式=x/y*fxx-2fxy+y/x*fyy
=-2y^2*x^2*e（-x^2*y^2）-2[e（-x^2*y^2）-2x^2*y^2e（-x^2*y^2）]--2y^2*x^2*e（-x^2*y^2）
=-4y^2*x^2*e（-x^2*y^2）+4y^2*x^2*e（-x^2*y^2）-2e（-x^2*y^2）
=-2e（-x^2*y^2）
扩展资料：
偏导数的定义
x方向的偏导
设有二元函数 z=f(x,y) ，点(x0,y0)是其定义域D 内一点。把 y 固定在 y0而让 x 在 x0 有增量 △x ，相应地函数 z=f(x,y) 有增量（称为对 x 的偏增量）△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。
如果 △z 与 △x 之比当 △x→0 时的极限存在，那么此极限值称为函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)处对 x 的偏导数，记作 f'x(x0,y0)或函数 z=f(x,y) 在(x0,y0)处对 x 的偏导数。
实际上就是把 y 固定在 y0看成常数后，一元函数z=f(x,y0)在 x0处的导数。
y方向的偏导
同样，把 x 固定在 x0，让 y 有增量 △y ，如果极限存在那么此极限称为函数 z=(x,y) 在 (x0,y0)处对 y 的偏导数。记作f'y(x0,y0)。
偏导数的几何意义
偏导数 f'x(x0,y0) 表示固定面上一点对 x 轴的切线斜率；偏导数 f'y(x0,y0) 表示固定面上一点对 y 轴的切线斜率。
参考资料来源：百度百科-偏导数