三棱锥外接球半径万能公式是什么?

Question

如题所述

Answer 1

三棱锥外接球半径的万能公式是 \( R = \sqrt{\frac{3a^2}{2\sqrt{3a^2 - b^2}}} \)，其中 \( a \) 为侧棱长，\( b \) 为三棱锥底面边长。
通常，三棱锥的外接球心位于四个面的外心上，且与四个面的射影重合，这有助于确定球心的位置并计算出顶点到球心的距离。
对于正三棱锥 \( ABCD \)，侧棱长为 \( a \)，底面边长为 \( b \)，外接球的球心位于三棱锥的高 \( AM \) 上。连接 \( DM \) 并交 \( BC \) 于点 \( E \)，再连接 \( AE \)。在面 \( ADE \) 内做侧棱 \( AD \) 的垂直平分线，交高 \( AM \) 于点 \( O \)，则 \( O \) 是外接球的球心，\( AO \) 是外接球的半径。
三棱锥是由四个三角形组成的几何体，有一个顶点固定底面时，或者有四个顶点不固定底面时。正三棱锥与正四面体不同，后者每个面都是正三角形。
四面体，也称三棱锥，是空间中最简单的几何体，由四个三角形组成，其中三个在底面，一个为顶面。正三棱锥的底面是正三角形，顶点在底面的射影是底面三角形的中心。由四个全等正三角形组成的三棱锥称为正四面体。