调和级数收敛的证明

Question

如题所述

Answer 1

证明

1、比较审敛法

因此该级数发散。

2、积分判别法

通过将调和级数的和与一个瑕积分作比较可证此级数发散。考虑右图中长方形的排列。每个长方形宽1个单位、高1/n个单位（换句话说，每个长方形的面积都是1/n），所以所有长方形的总面积就是调和级数的和： 矩形面积和：

 

而曲线y=1/x以下、从1到正无穷部分的面积由以下瑕积分给出： 曲线下面积：

 

由于这一部分面积真包含于（换言之，小于）长方形总面积，长方形的总面积也必定趋于无穷。更准确地说，这证明了：

这个方法的拓展即积分判别法。

3、反证法

假设调和级数收敛 , 则：

但与

 

矛盾，故假设不真，即调和级数发散。

扩展资料

调和级数是各项倒数为等差数列的级数，通常指项级数

各项倒数所成的数列（不改变次序）为等差数列。从第2项起，它的每一项是前后相邻两项的调和平均，故名调和级数。

推而广之，具有这种性质的每一个级数，即形如

的级数也称为调和级数，其中 a,b 是常数. 调和级数是发散的，但其部分和

增长极慢。

欧拉 (Euler,L.) 计算过

 

与

 

是等价无穷大，更准确地，有

 

其中 C=0.557 215... 是欧拉常数，

 

这是欧拉于1740 年发现的，更一般地，级数

称为广义调和级数，亦简称调和级数，它的通俗名称是 p 级数，当 p>1 时收敛，p<=1 时发散。

参考资料来源：百度百科-调和数列

参考资料来源：百度百科-调和级数