如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点,∠AEF=90°,且EF交正方形外角∠DCG的平分线

Question

如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点,∠AEF=90°,且EF交正方形外角∠DCG的平分线，求证AE=EF（证明思路；取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF）
①如图二，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（出B、C外）的任意一个点”，其他条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立吗？如果成立，写出证明过程；如不成立，请说明理由。
②如图三，点E是在BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立吗？如果成立，写出证明过程；如不成立，请说明理由

Answer 1

解：（1）∵四边形ABCD是正方形

∴AB=BC，∠B=∠BCD=∠DCG=90°，

∵取AB的中点M，点E是边BC的中点，

∴AM=EC=BE，

∴∠BME=∠BEM=45°，

∴∠AME=135°，

∵CF平分∠DCG，

∴∠DCF=∠FCG=45°，

∴∠ECF=180°-∠FCG=135°，

∴∠AME=∠ECF，

∵∠AEF=90°，

∴∠AEB+∠CEF=90°，

又∠AEB+∠MAE=90°，

∴∠MAE=∠CEF，

即

   ∠MAE=∠CEF

    AM=CE

   ∠AME=∠ECF     

∴△AME≌△ECF（ASA），

∴AE=EF，

（2）AE=EF仍然成立，理由如下：

在BA延长线上截取AP=CE，连接PE，则BP=BE，

∵∠B=90°，BP=BE，

∴∠P=45°，

又∠FCE=45°，

∴∠P=∠FCE，

∵∠PAE=90°+∠DAE，∠CEF=90°+∠BEA，

∵AD∥CB，

∴∠DAE=∠BEA，

∴∠PAE=∠CEF，

∴△APE≌△ECF，

∴AE=EF．

                 

Answer 2

都是成立的。
因为无论哪种情况都有角AEF=角ACF=90度，所以A,E,C,F四点共圆

所以角EAF=角FCG=45度=角ACB=角AFE，
等角对等弧对等边，所以AE=EF始终成立本回答被提问者采纳

Answer 3

就是这样了。自己对答案

Answer 4

解：（1）正确．

证明：在AB上取一点M，使AM＝EC，连接ME．

∴BM＝BE．∴∠BME＝45°.∴∠AME＝135°．

∵CF是外角平分线，

∴∠DCF＝45°.∴∠ECF＝135°．

∴∠AME＝∠ECF．

∵∠AEB＋∠BAE＝90°，∠AEB＋CEF＝90°，

∴∠BAE＝∠CEF．

∴△AME≌△BCF（ASA）．

∴AE＝EF．

（2）正确．

证明：在BA的延长线上取一点N，使AN＝CE，连接NE．

∴BN＝BE．

∴∠N＝∠FCE＝45°.

四边形ABCD是正方形，

∴AD‖BE．

∴∠DAE＝∠BEA．

∴∠NAE＝∠CEF．

∴△ANE≌△ECF（ASA）．

∴AE＝EF．

Answer 5

（2）证明：在线段AB上取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，
∵点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交∠DCG的平分线CF于点F，
∴∠FCG=45°，
∴∠ECF=135°，
∵∠FEC+∠AEB=90°，∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠MAE=∠FEC，EC=AM，
∴△AME≌△CEF，
∴AE=EF；