设A为三阶方阵，α1，α2，α3为三维线性无关列向量组，且有Aα1=α2+α3，Aα2=α1+α3，Aα3=α1+α2．

Question

设A为三阶方阵，α1，α2，α3为三维线性无关列向量组，且有Aα1=α2+α3，Aα2=α1+α3，Aα3=α1+α2．求（Ⅰ）求A的全部特征值；（Ⅱ）A是否可以对角化？

Answer 1

（I）
由已知得：
A（α₁+α₂+α₃）=2（α₁+α₂+α₃），A（α₂-α₁）=-（α₂-α₁），A（α₃-α₁）=-（α₃-α₁），
又因为α₁，α₂，α₃线性无关，
所以α₁+α₂+α₃≠0，α₂-α₁≠0，α₃-α₁≠0，
所以-1，2是A的特征值，α₁+α₂+α₃，α₂-α₁，α₃-α₁是相对应的特征向量，
由α₁，α₂，α₃线性无关，得：α₁+α₂+α₃，α₂-α₁，α₃-α₁也线性无关，
所以-1是矩阵A的二重特征值，
即A的全部特征值为：-1，2．

（II）
证明：
∵（α₁+α₂+α₃，α₂-α₁，α₃-α₁）=（α₁，α₂，α₃）

1 ?1 ?1 1 1 0 1 0 1

，
并且

.

1 ?1 ?1 1 1 0 1 0 1

.

＝2，
又由α₁，α₂，α₃线性无关可知，α₁+α₂+α₃，α₂-α₁，α₃-α₁线性无关，
∴A有三个线性无关的特征向量，
从而：矩阵A可相似对角化．

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

备注