常微分方程习题答案
2.1
1. ,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.
解：对原式进行变量分离得
并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.
解：对原式进行变量分离得：
3
解：原式可化为：
12．
解
15．
16．
解：
，这是齐次方程，令
17.
解：原方程化为
令
方程组
则有
令
当 当
另外
19. 已知f(x) .
解：设f(x)=y, 则原方程化为 两边求导得
20.求具有性质 x(t+s)= 的函数x(t),已知x’(0)存在。
解：令t=s=0 x(0)= = 若x(0) 0 得x =-1矛盾。
所以x(0)=0. x’(t)= )
两边积分得arctg x(t)=x’(0)t+c 所以x(t)=tg[x’(0)t+c] 当t=0时 x(0)=0 故c=0 所以
x(t)=tg[x’(0)t]
习题2.2
求下列方程的解
1． =
解： y=e ( e )
=e [- e ( )+c]
=c e - ( )是原方程的解。
2． +3x=e
解：原方程可化为： =-3x+e
所以：x=e ( e e )
=e ( e +c)
=c e + e 是原方程的解。
3． =-s +
解：s=e ( e )
=e ( )
= e ( )
= 是原方程的解。
4． ， n为常数.
解：原方程可化为：
是原方程的解.
5． + =
解：原方程可化为： =-
( )
= 是原方程的解.
6．
解：
= +
令 则 =u
因此： =
（*）
将 带入 （*）中 得： 是原方程的解.
13
这是n=-1时的伯努利方程。
两边同除以 ，
令
P(x)= Q(x)=-1
由一阶线性方程的求解公式
=
14
两边同乘以
令
这是n=2时的伯努利方程。
两边同除以 令
P（x）= Q(x)=
由一阶线性方程的求解公式
=
=
15
这是n=3时的伯努利方程。
两边同除以
令
= P(y)=-2y Q(y)=
由一阶线性方程的求解公式
=
=
16 y= +
P(x)=1 Q(x)= 由一阶线性方程的求解公式
=
=
c=1
y=
设函数 (t)于 ∞<t< ∞上连续， (0)存在且满足关系式 (t+s)= (t) (s)
试求此函数。
令t=s=0 得 (0+0)= (0) (0) 即 (0)= 故 或
（1） 当 时 即
∞, ∞)
(2) 当 时 =
= =
=
于是 变量分离得 积分
由于 ，即t=0时 1= c=1
故
20.试证：
（1）一阶非齐线性方程（2 .28）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2.3）之解；
（2）若 是（2.3）的非零解，而 是（2.28）的解，则方程（2.28）的通解可表为 ，其中 为任意常数.
（3）方程（2.3）任一解的常数倍或任两解之和（或差）仍是方程（2.3）的解.
证明： （2.28）
（2.3）
设 ， 是（2.28）的任意两个解
则 （1）
（2）
（1）-（2）得
即 是满足方程（2.3）
所以，命题成立。
由题意得：
（3）
（4）
1）先证 是（2.28）的一个解。
于是 得
故 是（2.28）的一个解。
2）现证方程（4）的任一解都可写成 的形式
设 是(2.28)的一个解
则 （4’）
于是 （4’）-（4）得
从而
即
所以，命题成立。
设 ， 是（2.3）的任意两个解
则 （5）
（6）
于是（5） 得
即 其中 为任意常数
也就是 满足方程（2.3）
（5） （6）得
即
也就是 满足方程（2.3）
所以命题成立。
21.试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程并求解。
曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方；
曲线上任一点的切线的纵截距是切点横坐标和纵坐标的等差中项；
解：设 为曲线上的任一点，则过 点曲线的切线方程为
从而此切线与两坐标轴的交点坐标为
即 横截距为 ，
纵截距为 。
由题意得：
（5）
方程变形为
于是
所以，方程的通解为 。
（6）
方程变形为
于是
所以，方程的通解为 。
22．求解下列方程。
（1）
解：
=
=
=
（2）
P(x)= Q(x)=
由一阶线性方程的求解公式
=
=
=
习题2.3
1、验证下列方程是恰当方程，并求出方程的解。
1.
解： ， =1 .
则
所以此方程是恰当方程。
凑微分，
得 ：
2．
解： ， .
则 .
所以此方程为恰当方程。
凑微分，
得
3．
解：
则 .
因此此方程是恰当方程。
（1）
（2）
对（1）做 的积分，则
= （3）
对（3）做 的积分，则
=
=
则
故此方程的通解为
4、
解： ， .
.
则此方程为恰当方程。
凑微分，
得 ：
5.( sin - cos +1)dx+( cos - sin + )dy=0
解： M= sin - cos +1 N= cos - sin +
=- sin - cos - cos + sin
=- sin - cos - cos + sin
所以， = ，故原方程为恰当方程
因为 sin dx- cos dx+dx+ cos dy- sin dy+ dy=0
d(-cos )+d (sin )+dx+d(- )=0
所以，d(sin -cos +x - )=0
故所求的解为sin -cos +x - =C
求下列方程的解：
6．2x(y -1)dx+ dy=0
解： = 2x , =2x
所以， = ，故原方程为恰当方程
又2xy dx-2xdx+ dy=0
所以，d(y -x )=0
故所求的解为y -x =C
7.(e +3y )dx+2xydy=0
解：e dx+3y dx+2xydy=0
e x dx+3x y dx+2x ydy=0
所以，d e ( x -2x+2)+d( x y )=0
即d [e ( x -2x+2)+ x y ]=0
故方程的解为e ( x -2x+2)+ x y =C
8. 2xydx+( x +1)dy=0
解：2xydx+ x dy+dy=0
d( x y)+dy=0
即d(x y+y)=0
故方程的解为x y+y=C
9、
解：两边同除以 得
即，
故方程的通解为
10、
解：方程可化为：
即，
故方程的通解为： 即：
同时，y=0也是方程的解。
11、
解：方程可化为：
即：
故方程的通解为：
12、
解：方程可化为：
故方程的通解为 ： 即：
13、
解：这里 ，
方程有积分因子
两边乘以 得：方程 是恰当方程
故方程的通解为：
即：
14、
解：这里
因为
故方程的通解为：
即：
15、
解：这里
方程有积分因子： 两边乘以 得：
方程 为恰当方程
故通解为 ：
即：
16、
解：两边同乘以 得：
故方程的通解为：
17、试导出方程 具有形为 和 的积分因子的充要条件。
解：若方程具有 为积分因子，
（ 是连续可导）
令
， .
，
，
，
方程有积分因子 的充要条件是： 是 的函数，
此时，积分因子为 .
令
，
此时的积分因子为
18. 设 及 连续,试证方程 为线性方程的充要条件是它有仅依赖于 的积分因子.
证:必要性 若该方程为线性方程,则有 ,
此方程有积分因子 , 只与 有关 .
充分性 若该方程有只与 有关的积分因子 .
则 为恰当方程 ,
从而 , ,
.
其中 .于是方程可化为
即方程为一阶线性方程.
20.设函数f(u)，g(u)连续、可微且f(u) g(u),\，试证方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0
有积分因子u=(xy[f(xy)-g(xy)])
证：在方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0两边同乘以u得：
uyf(xy)dx+uxg(xy)dy=0
则 =uf+uy +yf = + -yf
= =
=
而 =ug+ux +xg = + - xg
= =
故 = ，所以u是方程得一个积分因子
21．假设方程（2.43）中得函数M（x,y）N(x,y)满足关系 =
Nf(x)-Mg(y),其中f(x),g(y)分别为x和y得连续函数，试证方程（2.43）
有积分因子u=exp( + )
证明：M(x,y)dx+N(x,y)dy=0
即证 u +M =u +N
u( - )=N - M u( - )=Ne f(x)
-M e g(y) u( - )=e (Nf(x)-Mg(y))
由已知条件上式恒成立，故原命题得证。
22、求出伯努利方程的积分因子.
解：已知伯努利方程为：
两边同乘以 ，令 ，
线性方程有积分因子：
，故原方程的积分因子为：
，证毕！
23、设 是方程 的积分因子，从而求得可微函数 ，
使得 试证 也是方程 的积分因子的充要条件是 其中 是 的可微函数。
证明：若 ，则
又
即 为 的一个积分因子。
24、设 是方程 的两个积分因子，且 常数，求证 （任意常数）是方程 的通解。
证明：因为 是方程 的积分因子
所以 为恰当方程
即 ，
下面只需证 的全微分沿方程恒为零
事实上：
即当 时， 是方程的解。证毕！
习题 2.4
求解下列方程
1、
解：令 ，则 ，
从而 ，
于是求得方程参数形式得通解为 .
2、
解：令 ，则 ，即 ，
从而
，
于是求得方程参数形式得通解为 .
3、
解：令 ，则 ，
从而
=
，
于是求得方程参数形式的通解为 ,
另外，y=0也是方程的解.
4、 , 为常数
解：令 ，则 ，
从而
，
于是求得方程参数形式的通解为 .
5、 1
解：令 ，则 ，
从而
，
于是求得方程参数形式的通解为 .
6、
解：令 ，则 ，得 ，
所以 ，
从而 ，
于是求得方程参数形式的通解为 ，
因此方程的通解为 .
习题2.5
2．
解：两边同除以 ，得：
即
4．
解：两边同除以 ，得
令
则
即
得到 ，
即
另外 也是方程的解。
6．
解：
得到
即
另外 也是方程的解。
8.
解：令
则：
即
得到
故
即
另外 也是方程的解。
10．
解：令
即
而 故两边积分得到
因此原方程的解为 ， 。
12.
解：
令
则
即
故方程的解为
14．
解： 令
则
那么
求得：
故方程的解为
或可写 为
16．
解：令 则
即方程的解为
18．
解： 将方程变形后得
同除以 得：
令 则
即原方程的解为
19.X(
解：方程可化为2y(
令
27.
解： 令 ， ，则
， ，
，
两边积分得
即为方程的通解。
另外， ，即 也是方程的解。
28.
解： 两边同除以 ，方程可化为：
令 ，则
即 ，
两边积分得
即
为方程的解。
29.
解： 令 ，则 ，
，
那么
即
两边积分得
即为方程的解。
30.
解： 方程可化为
两边积分得
即
为方程的解。
31.
解： 方程可化为
两边同除以 ，得
即
令 ， ，则
即
两边积分得
将 代入得，
即
故
32.
解： 方程可化为
两边同加上 ，得 （*）
再由 ，可知
（**）
将（*）/（**）得
即
整理得
两边积分得
即
另外， 也是方程的解。
求一曲线，使其切线在纵轴上之截距等于切点的横坐标。
解： 设 为所求曲线上的任一点，则在 点的切线 在 轴上的截距为：
由题意得
即
也即
两边同除以 ，得
即
即
为方程的解。
摩托艇以5米/秒的速度在静水运动，全速时停止了发动机，过了20秒钟后，艇的速度减至 米/秒。确定发动机停止2分钟后艇的速度。假定水的阻力与艇的运动速度成正比例。
解： ，又 ，由此
即
其中 ，解之得
又 时， ； 时， 。
故得 ，
从而方程可化为
当 时，有 米/秒
即为所求的确定发动机停止2分钟后艇的速度。
35. 一质量为m的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为k1）的力作用在它上面，此质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数为k2）。试求此质点的速度与时间的关系。
解：由物理知识得：
根据题意：
故：
即：
(*)式为一阶非齐线性方程，根据其求解公式有
又当t=0时，V=0，故c=
因此，此质点的速度与时间的关系为：
36. 解下列的黎卡提方程
（1）
解：原方程可转化为：
观察得到它的一个特解为： ，设它的任意一个解为 ，
代入（*）式得到：
由（**）-（*）得：
变量分离得：
两边同时积分：
即：
故原方程的解为
（2）
解：原方程可化为：
由观察得，它的一个特解为 ，设它的任意一个解为 ，故
变量分离再两边同时积分得： 即
故原方程的解为
（3）
解：原方程可化为：
由观察得到，它的一个特解为 ，设它的任一个解为 ，故
，该式是一个 的伯努利方程
两边同除以 得到：
即： ，令 ，
则： ，根据一阶非齐线性方程的求解公式得：
故：
因此：原方程的解为：
（4）
解：原方程可化为：
由观察得到，它的一个特解为 ，设它的任一个解为 ，于是
，这是 的伯努利方程
两边同除以 得到：
即：
则：
即：
故：原方程的解为：
（5）
解：原方程可化为：
由观察得，它的一个特解为 ，故设它的任一个解为 ，于是
，这是 的伯努利方程
两边同除以 得到：
即：
则：
故：原方程的解为： ，即 .
（6）
解：原方程可化为：
由观察得到它的一个特解为 ，设它的任一个解为 ，于是
，这是 的伯努利方程
两边同除以 得到：
即：
则：
从而：
故原方程的解为：
即：
（7）
解：由观察得到它的一个特解为 ，故设它的任一个解为 ，于是
，这是n=2的佰努利方程，
两边同除以 得：
即：
从而：
故原方程的解为：
习题3.1
1 求方程 =x+y 通过点(0,0)的第三次近似解；
解： 取
=
2 求方程 =x-y 通过点(1,0)的第三次近似解；
解： 令
则
=
3 题 求初值问题：
R： 1， 1
的解的存在区间，并求解第二次近似解，给出在解的存在空间的误差估计；
解： 因为 M=max{ }=4 则h=min(a, )=
则解的存在区间为 = =
令 =0 ;
=y + dx= x + ;
=y + dx= x - - - +
又 =L
则：误差估计为： =
4 题 讨论方程： 在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，
并求通过点（0，0）的一切解；
解：因为 = 在y 上存在且连续；
而 在 上连续
由 有： =（x+c）
又 因为y(0)=0 所以： =x
另外 y=0也是方程的解；
故 方程的解为： =
或 y=0;
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